Комплексная функция: различия между версиями

по результатам Википедия:К разделению/13 августа 2015 вычленены функции вещ. переменной, стилеобработки
м (оформление)
(по результатам Википедия:К разделению/13 августа 2015 вычленены функции вещ. переменной, стилеобработки)
{{О|функции комплексной переменной|функции вещественной переменной с комплексными значениями|комплекснозначная функция}}
{{К разделению|2015-08-13|[[Комплексная функция]] и [[Комплекснозначная функция]]}}
'''Комплексная функция''' — основной объект изучения [[Теория функций комплексной переменной|теории функций комплексной переменной]], комплекснозначная функция комплексного аргумента: <math>f\colon\C \to \C</math>.
Термин '''комплексная функция''' может относиться к двум видам функций:
 
ТакаяКак и [[комплекснозначная функция вещественной переменной]] может быть представлена в виде:
== Комплекснозначная функция ==
: <math>\! f(z) = u(z)+i v(z)</math>,
Комплекснозначная функция — [[Функция (математика)|функция]] [[Вещественное число|вещественного]] переменного, имеющая [[Комплексное число|комплексные]] значения:
где <math>u(z)</math> и <math>v(z)</math> — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции <math>f(z)</math>. В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция <math>f(z)</math> была [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]], должны выполняться [[условия Коши — Римана]]:
: <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math>.
Такая функция может быть представлена в виде
: <math>\! f(x) = u(x)+iv(x)</math>,
 
где <math>\! u(x)</math> и <math>\! v(x)</math> — вещественные [[Функция (математика)|функции]]. Функция <math>\! u(x)</math> называется ''вещественной частью'' функции <math>\! f(x)</math>, а <math>\! v(x)</math> — её ''мнимой частью''.
 
== Функция комплексного переменного ==
Это понятие — обобщение предыдущего варианта:
: <math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>.
Такими функциями занимается отдельная область [[Математический анализ|математического анализа]] — [[теория функций комплексного переменного]], или [[комплексный анализ]].
 
Функция также может быть представлена в виде
: <math>\! f(z)=u(z)+i v(z)</math>,
однако имеется более глубокая связь между <math>u</math> и <math>v</math>. Например, для того, чтобы функция <math>f(z)</math> была дифференцируема, должны выполняться [[условия Коши — Римана]]:
: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math>;
 
: <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math>.
 
Примерами [[аналитическая функция|аналитических функций]] комплексногокомплексной переменногопеременной являются: [[степенная функция]], [[экспонента]], [[гамма-функция]], [[дзета-функция Римана]] и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа <math>\mathrm{Re}\,z</math>, мнимая часть <math>\mathrm{Im}\,z</math>, комплексное сопряжение <math>\bar z</math>, модуль <math>r = |z|</math> и аргумент <math>\varphi(z)</math> аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши  — Римана.
 
== См. также ==
* [[Комплексное число]]
* [[Комплексный анализ]]
 
== Литература ==