Теорема Сохоцкого — Племеля: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Ququ (обсуждение | вклад) оформление |
Ququ (обсуждение | вклад) м →Доказательство для вещественной прямой: оформление |
||
Строка 21:
: <math>
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i \varepsilon}\,dx = \mp i \pi \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{\varepsilon}{\pi(x^2+\varepsilon^2)}f(x)\,dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int_a^b \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}\, dx.</math>
Для первого слагаемого, отметим, что {{Дробь|''ε''|
Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор {{Дробь|''x''<sup>2</sup>|(''x''<sup>2</sup> + ''ε''<sup>2</sup>)}} стремится к 1 для |''х''| ≫ ''ε'', и стремится к 0 при |''х''| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.
| |||