Компактификация: различия между версиями

Нет описания правки
==Одноточечная компактификация==
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация [[Александров, Павел Сергеевич|Александрова]]''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y,\; f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]].
 
===Примеры===
 
*<math>\R \cup \{\infty\}</math> с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с <math>\R</math> (пример гомеоморфизма — [[стереографическая проекция]]), целая окружность гомеоморфна с <math>\R \cup \{\infty\}</math>. Аналогично, <math>\mathbb R^n \cup \{\infty\}</math> гомеоморфно c <math>n</math>-мерной [[Гиперсфера|гиперсферой]].
**В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с <math>\R</math> (пример гомеоморфизма — [[стереографическая проекция]]), целая окружность гомеоморфна с <math>\R \cup \{\infty\}</math>.
**Аналогично, <math>\mathbb R^n \cup \{\infty\}</math> гомеоморфно <math>n</math>-мерной [[Гиперсфера|сфере]].
 
==Компактификация Стоуна — Чеха==
Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм]]а) элемент в этом порядке называется '''[[Компактификация Стоуна — Чеха|компактификацией Стоуна — Чеха]]'''<ref>Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».</ref> и обозначается <math>\beta X</math>.
Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>, т.е. было [[Вполне_регулярное_пространство|вполне регулярным]].
 
== Примеры одноточечной компактификации ==
 
<math>\R \cup \{\infty\}</math> с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с <math>\R</math> (пример гомеоморфизма — [[стереографическая проекция]]), целая окружность гомеоморфна с <math>\R \cup \{\infty\}</math>. Аналогично, <math>\mathbb R^n \cup \{\infty\}</math> гомеоморфно c <math>n</math>-мерной [[Гиперсфера|гиперсферой]].
 
== Примечания ==