Компактификация: различия между версиями

14 байт добавлено ,  6 лет назад
викификация
(викификация)
'''Компактификация''' — операция, которая преобразует [[топологическое пространство|топологические пространства]] в [[Компактное пространство|компактные]].
 
== Определение ==
Формально компактификация пространства <math>X</math> определяется как пара <math>(Y,\;f)</math>,
где <math>Y</math> компактно,
<math>f:X \to Y</math> [[вложение]]
такое, что <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>.
 
== Примеры ==
* [[Проективная плоскость|Вещаественная проективная плоскость]] является компактивикацией [[Евклидова плоскость|Евклидовой плоскости]], для стандартного вложения.
 
== Одноточечная компактификация ==
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация [[Александров, Павел Сергеевич|Александрова]]''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y,\; f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]].
 
=== Примеры ===
 
* <math>\R \cup \{\infty\}</math> с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
** В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с <math>\R</math> (пример гомеоморфизма  — [[стереографическая проекция]]), целая окружность гомеоморфна с <math>\R \cup \{\infty\}</math>.
** Аналогично, <math>\mathbb R^n \cup \{\infty\}</math> гомеоморфно <math>n</math>-мерной [[Гиперсфера|сфере]].
 
== Компактификация Стоуна  — Чеха ==
 
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок.
Положим <math>f_1 \leqslant f_2</math> для двух компактификаций <math>f_1: X \to Y_1</math>, <math>f_2: X \to Y_2</math>, если существует непрерывное отображение <math>g: Y_2 \to Y_1</math> такое, что <math>g f_2 = f_1</math>.
Максимальный (с точностью до [[гомеоморфизм]]а) элемент в этом порядке называется '''[[Компактификация Стоуна — Чеха|компактификацией Стоуна — Чеха]]'''<ref>Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».</ref> и обозначается <math>\beta X</math>.
Для того, чтобы у пространства <math>X</math> существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости]] Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы <math>X</math> удовлетворяло аксиоме отделимости <math>T_{3\frac{1}{2}}</math>, т.е.то есть было [[Вполне_регулярное_пространство|вполне регулярным]].
 
== Примечания ==
59 371

правка