Рекуррентная формула: различия между версиями

Данное уравнение имеет характеристический многочлен <math>z^{2}-z+1=(z-\alpha_{1})(z-\alpha_{2})</math>, где <math>\alpha_{1}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i \frac{\pi}{3}}</math>, <math>\alpha_{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{-i \frac{\pi}{3}}</math>. Общее решение имеет вид <math>f_{n}=c_{1}\alpha_{1}^{n}+c_{2}\alpha_{2}^{n}=c_{1}e^{\frac{i\pi n}{3}}+c_{2}e^{\frac{-i\pi n}{3}}</math>. Подставляя <math>n=0, 1</math>, получаем <math>c_{1}+c_{2}=1</math>, <math>c_{1}\alpha_{1}+c_{2}\alpha_{2}=1</math>. Получаем значения <math>c_{1}=\frac{1}{2}-i\frac{1}{2\sqrt{3}}</math>, <math>c_{2}=\frac{1}{2}+i\frac{1}{2\sqrt{3}}</math>. Таким образом <math>f_{n}=(\frac{1}{2}-i\frac{1}{2\sqrt{3}})(\cos(\frac{\pi n}{3})+i\sin(\frac{\pi n}{3}))+(\frac{1}{2}+i\frac{1}{2\sqrt{3}})(\cos(\frac{\pi n}{3})-i\sin(\frac{\pi n}{3}))=\cos(\frac{\pi n}{3})+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\frac{\pi n}{3})</math>.