Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
MBHbot (обсуждение | вклад) м кирлат, replaced: расcт → расст |
Нет описания правки |
||
Строка 5:
----
Пусть <math>~\alpha</math> — [[Примитивный элемент конечного поля|примитивный элемент]] [[Конечное поле|поля]] <math>~GF(q^m)</math> (то есть <math>\alpha^{q^m-1}=1,\;\alpha^i \neq 1,\;i< q^m-1</math>), пусть <math>~\beta=\alpha^s </math>, — элемент поля <math>~GF(q^m)</math> порядка <math>~n, \quad s = (q^m-1) / n </math>. Тогда нормированный [[Многочлен над конечным полем|полином]] <math>g(x)</math> минимальной степени над полем <math>GF(q)</math>, [[Корень многочлена|корнями]] которого являются <math>~d-1</math> подряд идущих степеней <math>~\beta^{l_0},\; \beta^{l_0+1},\;\ldots,\;\beta^{l_0+d-2}</math> элемента <math>~\beta</math> для некоторого целого <math>~l_0</math> (в том числе 0 и 1), является порождающим полиномом БЧХ-кода над полем <math>~GF(q)</math> с длиной <math>n</math> и минимальный расстоянием <math>~d_0 \geqslant d</math>. Поясним почему у получившегося кода будут именно такие характеристики (длина кода <math>~n</math>, минимальное расстояние <math>~d_0</math>). Действительно, как показано
----
Строка 37 ⟶ 26 :
2) поскольку каждому такому циклотомическому классу соответствует неприводимый полином над <math>GF(q)</math>, корнями которого являются элементы этого и только этого класса, со степенью равной количеству элементов в классе, то выбрать <math>\beta^{l_0},\;\beta^{l_0+1},\;\ldots,\; \beta^{l_0+d-2}</math> таким образом, чтобы суммарная длина циклотомических классов была минимальна; это делается для того, чтобы при заданных характеристиках кода <math>~n</math> и <math>~d</math> минимизировать количество проверочных символов <math>~k</math>;
3) вычислить порождающий полином <math>g(x)=f_1(x)f_2(x)\ldots f_h(x)</math>, где <math>f_i(x)</math> — полином, соответствующий <math>i</math>-ому циклотомическому классу; или вычислить <math>g(x)</math>, как [[Наименьшее общее кратное|НОК]] минимальных функций от элементов <math>\beta^{l_0},\; \beta^{l_0+1},\;\ldots,\;\beta^{l_0+d-2}</math>
== Примеры кодов ==
Строка 88 ⟶ 77 :
<math>\sigma(x) = \prod_{l=1}^\nu (1 + \alpha^{J_l}x) = 1 + \sigma_{1}x + \sigma_{2}x^2 + \ldots + \sigma_{\nu}x^{\nu} </math>
</center>
корни которого равны обратным величинам локаторов ошибок. Тогда справедливо следующее соотношение между коэффициентами многочлена локаторов ошибок и синдромами
<center>
<math> \sigma_{1}S_{t}+\sigma_{2}S_{t-1}+\ldots+\sigma_{t}S_{1} = -S_{t+1} </math>
Строка 221 ⟶ 210 :
[[Файл:Схема декодирования БЧХ кодов.jpg|мини|500px|Общая схема декодирования БХЧ кодов (алгоритм Форни)]]
По локаторам можно найти позиции ошибок (<math>i_k=\log_{\beta}X_k</math>), а значения <math>Y_k</math> ошибок из системы <math>(2)</math>, приняв <math>t=u</math>. Декодирование завершено.
== Примечания ==▼
{{примечания}}▼
== См. также ==
Строка 234 ⟶ 220 :
* [[Код Рида — Соломона]]
* [[Алгоритм Евклида]]
▲== Примечания ==
▲{{примечания|2}}
== Литература ==
Строка 249 ⟶ 238 :
|isbn =
}}
* {{source|Q22328149|ref=Сагалович|ref-year=2007}} <!-- Введение в алгебраические коды -->
* {{книга
|автор = Морелос-Сарагоса Р.
|