|
'''Фо́рмула Герона''' позволяет вычислить [[площадь (геометрия)|площадь]] [[треугольник]]а (''S'') по его сторонам ''a, b, c'':
: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>
где p — '''полупериметр''' треугольника: <math>p = \frac{a + b + c}2</math>.
{{Hider|
title = Доказательство:|
hidden = 0 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
: <math>S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}</math>,
где <math>\ \gamma</math> — угол треугольника, ''противолежащий стороне'' <math>c</math>.
По [[теорема косинусов|теореме косинусов]]:
: <math>c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,</math>
Отсюда:
: <math>\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},</math>
Значит,
: <math>\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=</math>
: <math>={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=</math>
: <math>={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)</math>.
Замечая, что <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a+c-b=2p-2b</math>, <math>c-a+b=2p-2a</math>, получаем:
: <math>\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.</math>
Таким образом,
: <math>S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>
[[ч.т.д.]]}}
== История ==
Эта формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] ([[I век|I века н. э.]]) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название {{Якорь|Геронов треугольник}}''героновых треугольников''. Простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]].
| 