Конформное отображение: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) |
Tosha (обсуждение | вклад) |
||
Строка 14:
*[[Теорема Римана об отображении|Теорема Римана]]: Любая [[односвязное пространство|односвязная]] открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.
* [[Теорема Лиувилля о конформных отображениях|Теорема Лиувилля]]: Всякое конформное отображение области [[евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\R^n</math> при <math>n\ge 3</math> можно представить в виде суперпозиции конечного числа [[Инверсия (геометрия)|инверсий]].
* [[тензор Вейля|Кривизна Вейля]] сохраняется при конформном отображении, то есть если <math>\tilde g</math> и <math>g</math> — конформноэквивалентные [[метрический тензор|метрические тензоры]], то
*:<math>\tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z,</math> :где <math>\tilde W</math> и <math>W</math> обозначают тензоры Вейля для <math>\tilde g</math> и <math>g</math> соответственно. * Для конформно-эквивалентых метрик <math>\tilde g=e^{2\psi}{\cdot} g</math>
:*:<math>\tilde\nabla_XY=\nabla_XY+(X\psi){\cdot}Y+(Y\psi){\cdot}X-g(X,Y){\cdot}\nabla\psi </math>
::если <math>g(X,X)=g(Y,Y)=1, g(X,Y)=0, X\psi=0</math> а <math>Hess_\psi</math> обозначает [[Гессиан функции]] <math>\psi</math>.
Строка 26 ⟶ 29 :
f^2K_{X,Y} -f{\cdot}[Hess_f (X,X)+Hess_f(Y,Y)]-|\nabla f|^2,</math>
:: где <math>f=e^{-\psi}</math>.
:* При вычислении [[скалярная кривизна|скалярной кривизны]] <math>n</math>-мерного [[риманово многообразие|риманова многообразия]], удобнее записывать конформный фактор в виде <math>\tilde g=u^{\tfrac4{n-2}}{\cdot} g</math>. В этом случае:
:*:<math>\tilde{Sc}=\left({Sc}-\frac{4(n-1)}{n-2}{\cdot}\Delta u\right)/u^{\frac{n+2}{n-2}}</math>
== Примеры ==
| |||