|
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.
Следовательно, вс силуучётом счётной аддитивности меры Лебега <math>\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)</math><math>=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)</math>.
<math>1 = \mu([0;1]) \le \mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n) \le \mu([-1;2]) = 3</math>.
Если бы у построенного множества <math>E\;</math> существовала мера, то она должна быть либо равна нулю, либо быть больше нуля (в силу определения меры вообще).
ПустьОднако, если построенное множество <math>\mu(E)>\;0</math> измеримо, приэто этомневозможно: все <math>\mu(E_n) = \;mu(E)</math> - равны друг другу в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а это значит, чтоих всумма силулибо свойствабесконечна счётной аддитивности меры Лебега(если <math>\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_nE)>10</math>), чтолибо невозможно,равна такнулю как(если <math>\mu([0,1])=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)=\mu(E)=10</math>).
Пусть <math>\mu(E)=0\;</math>, однако это также невозможно, поскольку в этом случае <math>\mu([0,1])=\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\mu(E)</math>, что противоречит определению меры Лебега, так как для отрезка <math>[0,\;1]</math> эта мера равна 1 в силу именно определения меры Лебега,
а это значит, что <math>\mu(E)\;</math> не существует.
Q.E.D.
Заметим, что построение этого, как и любого другого примера неизмеримого множества на отрезке, было бы невозможно без принятия [[аксиома выбора|аксиомы выбора]] (нельзя было бы допустить универсальную возможность выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).
| 