Интеграл: различия между версиями

371 байт добавлено ,  5 лет назад
радикальное обновление
(радикальное обновление)
{{Чистить|Пока что очень напоминает свалку|Эта статья}}
[[Файл:Integral example.svg|thumb|125px|[[Определённый интеграл]] как площадь фигуры]]
{{другие значения}}
'''Интеграл''' — одно из важнейших понятий [[математический анализ|математического анализа]], которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и т.п., а также в задаче о восстановлении [[функция (математика)|функции]] по её [[Производная функции|производной]] (''неопределённый интеграл''). Упрощённо интеграл можно представить себе как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подинтегральная функция, интеграл может быть — ''двойной'', ''тройной'', ''криволинейный'', ''поверхностный'' и т.д.; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы ''Римана'', ''Лебега'', ''Стилтьеса'' и др.
 
== Интеграл функции одной переменной ==
'''Интегра́л фу́нкции ''' — аналог суммы бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых. В простейшем случае<ref>В случае непрерывной функции одного (одномерного) аргумента</ref> имеется в виду разбиение области интегрирования, являющейся отрезком, на бесконечно малые отрезки, и сумма произведений значения функции аргумента, принадлежащего каждому отрезку, и длины соответствующего бесконечно малого отрезка области интегрирования, в пределе, при бесконечно мелком разбиении:
 
=== Неопределённый интеграл ===
<math>S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i \rightarrow \int f(x) dx.</math>
{{main|Неопределённый интеграл}}
 
Пусть дана <math>f(x)</math> — [[функция (математика)|функция]] [[действительное число|действительной переменной]].
Поэтому, неформально, определённый интеграл является [[площадь фигуры|площадью]] между графиком функции и осью абсцисс в пределах интегрирования, то есть площадью [[криволинейная трапеция|криволинейной трапеции]].
'''''Неопределённым интегралом''''' функции <math>f(x)</math> или её ''первообразной'' называется такая функция <math>F(x)</math>, [[Производная функции|производная]] которой равна <math>f(x)</math>, то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Обозначается это так:
 
<math>F(x) = \int f(x) dx</math>
(В случае интегрирования функции двух переменных или функции двумерной переменной по двумерной области, это будет объем под поверхностью, являющейся графиком функции; аналогично и для бо́льших размерностей).
 
В этой записи <math>\int</math> — ''[[знак интеграла]]'', <math>f(x)</math> называется ''подинтегральной функцией'', а <math>dx</math> — ''элементом интегрирования''.
Процесс нахождения интеграла называется '''''интегрированием'''''.
 
Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все [[непрерывные функции]] имеют первообразную.
Согласно [[Основная теорема анализа|основной теореме анализа]], интегрирование является операцией, обратной [[Производная функции|дифференцированию]], чем помогает решать [[дифференциальные уравнения]].
Поскольку производные двух функций, отличающихся на [[Постоянная|константу]], совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную <math>C</math>, например
 
<math>\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C, \qquad \int \cos(x) dx = \sin(x) + C</math>
Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающихся в технических деталях.
Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат.
Наиболее простым является [[интеграл Римана]].
 
Операция нахождения интеграла называется ''интегрированием''. Операции интегрирования и [[Производная функции|дифференцирования]] обратны друг другу в следующем смысле:
== Неформальное геометрическое описание ==
[[Файл:Riemann.gif|left|thumb|Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.]]
Неформально интеграл функции одной переменной можно ввести как [[площадь (геометрия)|площади]] подграфика (фигуры, заключенной между [[график функции|графиком функции]] и [[Ось абсцисс|осью абсцисс]]).
 
<math>\frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x), \qquad \int \frac{d f(x)}{dx} dx = f(x) + C</math>
Пытаясь найти эту площадь, можно рассматривать фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.
 
=== Определённый интеграл ===
Площадь ''S '' такой фигуры при каком-то конкретном разбиении на отрезки длинами <math>\Delta x_i</math> будет интегральной суммой:
{{main|Определённый интеграл}}
 
[[File:Integral-R1.svg|thumb|400px|right|Интеграл как площадь криволинейной трапеции]]
: <math>S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i.</math>
Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении [[площадь|площади]] криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т.п.
 
Рассмотрим фигуру, ограниченную осью [[абсцисса|абсцисс]], [[ордината]]ми <math>x=a</math> и <math>x=b</math> и [[график функции|графиком функции]] <math>y=f(x)</math>, называемую ''криволинейной трапецией'' (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.
[[Предел (математика)|В пределе]] — при «размельчении» разбиения (когда каждое <math>\Delta x_i</math> стремится к нулю) интегральная сумма должна стремиться к интегралу функции ''f'' на отрезке:
 
Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок <math>[a; b]</math> на меньшие отрезки точками <math>x_i</math>,
: <math>S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i \rightarrow \int f(x) dx.</math>
такими что <math>a = x_1 < ... < x_i < x_{i+1} < ... < x_{n+1} = b</math>,
а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками <math>[x_i; x_{i+1}]</math>. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке <math>\xi_i \in [x_i;x_{i+1}]</math>. Ввиду того, что длина <math>i</math>-го отрезка <math>\Delta x_i = x_{i+1}-x_i</math> мала, будем считать значение функции <math>f(x)</math> на нём примерно постоянным и равным <math>y_i = f(\xi_i)</math>. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равно площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:
 
<math> S \approx \sum_{i=1}^n y_i \Delta x_i \qquad (*)</math>
== Альтернативная наглядная интерпретация ==
Очень сходна интерпретация интеграла как сложения масс элементарных объемов при нахождении массы неоднородного тела исходя из его плотности (являющейся функцией координат):
 
Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали (<math>\max \Delta x_i \to 0</math>), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.
: <math>m = \int dm = \int \rho(x) dV_x.</math>
 
Поэтому мы приходим к такому определению:
В случае меньшей размерности области интегрирования (не 3, а 2 или 1) — под <math>\rho(x)</math> имеется в виду двумерная (поверхностная) или одномерная («линейная») плотность, а под <math>dV_x</math> — элементарная площадь или элементарная длина соответственно.
 
Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек <math>\xi_i</math>, [[Предел (математика)|предел]] суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел назывется '''''определённым интегралом''''' (''в смысле Римана'') от функции <math>f(x)</math> по отрезку <math>[a; b]</math> и обозначается
Для произвольной размерности ''n'' под <math>dV_x</math> понимается ''n''-мерный объем.
 
<math> \int_a^b f(x) dx </math>
== Общее определение ==
{{mainref|<ref>''[[Соболев, Владимир Иванович (математик)|Соболев В. И.]]'' Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 101</ref>}}
 
Сама функция при этом называется ''интегрируемой'' (в смысле Римана) на отрезке <math>[a; b]</math>. Суммы вида (*) называются ''интегральными суммами''.
Пусть <math>E</math> — [[измеримое множество]], а <math>f(x)</math> — неотрицательная вещественная функция, заданная на <math>E</math>. Разобьём <math>E</math> на конечное число непересекающихся измеримых частей <math>E = \bigcup_{i=1}^{n}E_{i}, E_{i} \bigcap E_{j} = \varnothing </math> при <math>i \ne j</math>. Пусть <math>u_{i}=\inf_{E_{i}}f(x)</math>. Рассмотрим сумму <math>\sum_{i=1}^{n}u_{i} \mu E_{i}</math>.Здесь <math>\mu E_{i}</math> — [[Мера множества|мера]] подмножества <math>E_{i}</math>. Точная верхняя граница таких сумм, составленных для всевозможных разбиений множества <math>E</math> указанного вида,
конечная или бесконечная, <math>\int_E f(x) d\mu = \sup \sum_{i=1}^{n} u_{i} \mu E_{i}</math> называется интегралом от <math>f(x)</math> по множеству <math>E</math> и обозначается <math>\int_E f(x) d\mu</math>. Если <math>\int_E f(x) d\mu < \infty</math>, то неотрицательная функция <math>f(x)</math> называется интегрируемой или суммируемой на множестве <math>E</math>. Пусть теперь <math>f(x)</math> — произвольная вещественная функция, заданная на <math>E</math>. Рассмотрим функции
<math>
f_{+}(x)=
\begin{cases}
f(x),\quad f(x)>0\\
0,\quad f(x) \leqslant 0
\end{cases}
</math>
 
Примеры интегрируемых функций:
и
* [[непрерывная функция|непрерывные функции]]
* функции, имеющие лишь конечное число [[разрыв первого рода|разрывов первого рода]]
* [[монотонная функция|монотонные функции]].
 
Пример неинтегрируемой функции: [[функция Дирихле]] (1 при <math>x</math> [[рациональные числа|рациональном]], 0 при [[иррациональное число|иррациональном]]). Поскольку множество рациональных чисел [[всюду плотное множество|всюду плотно]] в <math>{\mathbb R}</math>, выбором точек <math>\xi_i</math> можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до <math>b-a</math>.
: <math>
f_{-}(x) =
\begin{cases}
0,\quad f(x) \geqslant 0\\
-f(x),\quad f(x) < 0
\end{cases}
</math>.
Обе эти функции неотрицательны на множестве <math>E</math> и поэтому для них определены конечные или бесконечные интегралы <math>\int_E f_{+}(x) d\mu</math> и <math>\int_E f_{-}(x) d\mu</math>. Если по крайней мере один из этих интегралов конечен, то разность: <math>\int_E f_{+}(x) d\mu - \int_E f_{-}(x) d\mu</math> называется интегралом от <math>f(x)</math> по <math>E</math> и обозначается <math>\int_E f(x) d\mu</math>. Если оба интеграла <math>\int_E f_{+}(x) d\mu</math> и <math>\int_E f_{-}(x) d\mu</math> конечны, то конечен и интеграл <math>\int_E f(x) d\mu</math>. В этом случае функция
<math>f(x)</math> называется интегрируемой или суммируемой на <math>E</math>.
 
Между определённым и неопредённым интегралом имеется простая связь. А именно, если
'''Формула Ньютона-Лейбница'''
<math>\int ^{b}_{a}f\left( x\right) dx=F\left( x\right) \vline ^{b}_{a}=F\left( b\right) -F\left( a\right)</math>
 
<math> F(x) = \int f(x) dx</math>
== Типы интегралов ==
* [[Определённый интеграл]] и [[Неопределённый интеграл]]
* [[Интеграл Римана]] и [[интеграл Римана — Стилтьеса|Римана — Стилтьеса]]
* [[Интеграл Лебега]] и [[Интеграл Лебега — Стилтьеса|Лебега — Стилтьеса]]
* [[Интеграл Даниэля]]
 
то
=== По области интегрирования ===
* [[Кратный интеграл]]
* [[Криволинейный интеграл]]
* [[Поверхностный интеграл]]
 
<math> \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>
== Интегралы, зависящие от параметров ==
{{Основная статья|Зависящий от параметра интеграл}}
<!--=== Интеграл с неопределённой верхней границей ===-->
 
Эта равенство называется [[формула Ньютона-Лейбница|формулой Ньютона-Лейбница]].
=== Дифференцирование по параметру ===
Пусть задан интеграл вида
: <math>I(t) = \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}f(x,t)\mathrm dx.</math>
В таком случае, производная по параметру ''t'' будет равна<ref name="Будылин">
{{cite web
| url = http://lib.mexmat.ru/books/121
| title = Вариационное исчисление
| author = Будылин А. М.
| publisher = Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета
| accessdate = 2011-07-10
| description = Цифровое издание. Часть 3.3.1. Дифференцирование интеграла по параметру.
| lang = ru
| archiveurl = http://www.webcitation.org/65XtFYtTj
| archivedate = 2012-02-18
}}</ref>
: <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt} = f(x_2,t)\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt} - f(x_1,t)\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt} + \int\limits_{x_1(t)}^{x_2(t)}\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm dx.</math>
 
== Интеграл в пространствах большей размерности ==
== История ==
 
=== Двойные и кратные интегралы ===
=== Интеграл в древности ===
{{main|Двойной интеграл}}
 
[[File:Integral-R2.svg|thumb|300px|right|Двойной интеграл как объём цилиндрического бруса]]
Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э.{{Нет АИ|29|7|2013}}, [[Московский математический папирус]] демонстрирует знание формулы объёма усечённой [[Пирамида (геометрия)|пирамиды]].
Понятие двойного интеграла возникает при вычислении [[объём]]а ''цилиндрического бруса'',
Первым известным методом для расчёта интегралов является [[метод исчерпывания]] [[Евдокс Книдский|Евдокса]] (''примерно'' 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны.
подобно тому, как определённый интеграл связан с вычислением площади криволинейной трапеции.
Этот метод был подхвачен и развит [[Архимед]]ом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближённого расчёта площади круга.
Рассмотрим некоторую двумерную фигуру <math>D</math> на плоскости <math>XY</math> и заданную на ней функцию двух переменных <math>f(x,y)</math>.
Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. [[Лю Хуэй]]ем, который использовал их для нахождения площади круга.
Понимая эту функцию как высоту в данной точке, поставим вопрос о нахожении объёма получившегося тела (см. рисунок).
Этот метод впоследствии использовали [[Цзу Чунчжи]] и [[Цзу Гэн]] для нахождения объёма шара.
По аналогии с одномерным случаем, разобьём фигуру <math>D</math> на достаточно малые области <math>d_i</math>,
возьмём в каждой по точке <math>\xi_i = (x_i,y_i)</math> и составим интегральную сумму
 
<math>\sum_{i} f(x_i,y_i) S(d_i)</math>
Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в [[XI век]]е, математиком [[Ибн ал-Хайсам]]ом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя [[Математическая индукция|математическую индукцию]], он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от [[полином]]ов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.
 
где <math>S(d_i)</math> — площадь области <math>d_i</math>. Если существует, независимо от выбора разбиения и точек <math>\xi_i</math>,
Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в [[XVI век]]е. В работах [[Кавальери Бонавентура|Кавальери]] с его методом неделимых, а также в работах [[Пьер Ферма|Ферма]], были заложены основы современного [[Интегральное исчисление|интегрального исчисления]]. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века [[Исаак Барроу|Барроу]] и [[Эванджелиста Торричелли|Торричелли]], которые указали на связь между интегрированием и дифференцированием.
предел этой суммы при стремлении [[диаметр]]ов областей к нулю, то такой предел называется '''''двойным интегралом'''''
(в смысле Римана) от функции <math>f(x,y)</math> по области <math>D</math> и обозначается
 
<math> \int_D f(x,y) dS </math>, <math> \int_D f(x,y) dx dy </math>, или <math> \iint_D f(x,y) dx dy </math>
=== Обозначение ===
 
Объём цилиндрического бруса равен этому интегралу.
[[Исаак Ньютон|Ньютон]] использовал (не везде) в качестве символа интегрирования значок квадрата (перед обозначением функции или вокруг него), но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено [[Готфрид Лейбниц|Лейбницем]] в 1675 году. Он образовал [[Знак интеграла|интегральный символ]] <math>\int</math> из буквы '''ſ''' ([[S (латиница)|«длинная s»]]) — сокращения слова {{lang-la|summa}} (тогда ''ſumma'', сумма).{{-1|<ref name="Cajori93">
 
=== Криволинейный интеграл ===
{{main|Криволинейный интеграл}}
=== Поверхностный интеграл ===
{{main|Поверхностный интеграл}}
 
== Применение ==
 
К понятию интеграла естественным образом приводит также задача о массе неоднородного тела.
Так, [[масса]] тонкого стержня с переменной [[плотность]]ю <math>\rho(x)</math> даётся интегралом
 
<math> M = \int \rho(x) dx </math>
 
в аналогичном случае плоской фигуры
 
<math> M = \iint \rho(x,y) dx dy </math>
 
и для трёхмерного тела
 
<math> M = \iiint \rho(x,y,z) dx dy dz </math>
 
== Обобщения ==
=== Интеграл Лебега ===
{{main|Интеграл Лебега}}
 
В основе определения интеграла Лебега лежит понятие <math>\sigma</math>-аддитивной [[Мера множества|меры]].
Мера является естественным обобщением понятий длины, площади и объёма.
 
Полагая меру отрезка (прямоугольника, параллелепипеда) равной его длине (площади, объёму), а меру конечного либо [[счётное множество|счётного]] объединения непересекающихся отрезков (прямоугольников, параллелепипедов), соответственно, сумме их мер, и продолжая эту меру на более широкий класс ''[[Измеримое множество|измеримых множеств]]'', получим т. наз. [[Мера Лебега|''Лебегову меру'']] на прямой (в <math>{\mathbb R}^2</math>, в <math>{\mathbb R}^3)</math>.
 
Естественно, в этих пространствах возможно ввести и другие меры, отличные от Лебеговой. Меру можно ввести также на любом абстрактном множестве.
В отличие от интеграла Римана, определение интеграла Лебега остаётся одинаковым для всех случаев.
Идея его состоит в том, что при построении интегральной суммы значения аргумента группируются не по близости к друг другу (как в определении по Риману), а по близости соотвествующих им значений функции.
 
Пусть есть некоторое множество <math>X</math>, на котором задана <math>\sigma</math>-аддитивная мера <math>\mu</math>, и функция <math>f: X \to {\mathbb R}</math>.
При построении интеграла Лебега рассматриваются только ''[[Измеримая функция|измеримые функции]]'', т.е. такие, для которых множества
 
<math> E_a = \{x \in X: f(x) < a\} </math>
 
измеримы для любого <math>a \in {\mathbb R}</math> (это эквивалентно измеримости [[прообраз]]а любого [[Борелевская сигма-алгебра|борелевского множества]]).
 
Сначала интеграл определяется для ''ступенчатых функций'', т.е. таких, которые принимают конечное или счётное число значений <math>a_i</math>:
 
<math> \int_X f d\mu = \sum_i a_i \mu(f^{-1}(a_i)) </math>
 
где <math>f^{-1}(a_i)</math> — [[полный прообраз]] точки <math>a_i</math>; эти множества измеримы в силу измеримости функции. Если этот ряд [[абсолютная сходимость|абсолютно сходится]], ступенчатую функцию <math>f</math> назовём интегрируемой ''в смысле Лебега''.
Далее, назовём произвольную функцию <math>f</math> интегрируемой в смысле Лебега, если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций <math>f_n</math>, [[равномерная сходимость|равномерно сходящаяся]] к <math>f</math>. При этом последовательность их интегралов также сходится; её предел и будем называть '''''интегралом Лебега''''' от функции <math>f</math> по мере <math>\mu</math>:
 
<math> \int_X f d\mu = \lim \int_X f_n d\mu </math>
 
Если рассматривать функции на <math>{\mathbb R}^n</math> и интеграл по мере Лебега, то все функции, интегрируемые в смысле Римана, будут интегрируемы и в смысле Лебега.
Обратное же неверно (например, функция Дирихле не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, т.к. равна нулю [[почти всюду]]).
Фактически, любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу.
 
== Историческая справка ==
 
Основные понятия интегрального исчисления введены в работах [[Ньютон, Исаак|Ньютона]] и [[Лейбниц]]а в конце XVII века. Лейбницу принадлежит обозначение интеграла <math>\int y dx</math>, напоминающее об интегральной сумме, как и сам символ <math>\int</math>, от буквы '''ſ''' ([[S (латиница)|«длинная s»]]) — первой буквы в латинском слове ''summa'' (тогда ''ſumma'', сумма)<ref name="Cajori93">
{{книга
|автор = Florian Cajori
|isbn = 9780486677668
|ref = Cajori
}}</ref>}}. СовременноеСам обозначениетермин определённого«интеграл» интегралапредложен [[Иоганн Бернулли|Иоганном Бернулли]], сучеником указаниемЛейбница. Обозначение пределов интегрирования, былив впервыевиде предложены<math>\int_a^b</math> введено [[Фурье, Жан Батист Жозеф Фурье|Жаном Батистом Жозефом Фурье]] в 1819-201820 годахгоду.
 
Строгое определение интеграла для случая непрерывных функций сформулировано [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] в 1823 году, а для произвольных функций — [[Риман, Бернхард|Риманом]] в 1853 году.
Определение интеграла в смысле Лебега впервые дано [[Лебег, Анри Леон|Лебегом]] в 1902 году (для случая функции одной переменной и меры Лебега).
 
== См. также ==
* [[Первообразная]]
* [[Основная теорема анализа]]
* [[Знак интеграла]]
* [[Интегральное исчисление]]
* [[Численное интегрирование]]
* [[Методы интегрирования]]
* [[Список интегралов элементарных функций]]
* [[Теорема об ограниченности интегрируемой функции]]
* [[Теорема о среднем в определённом интеграле]]
 
== Примечания ==
== Литература ==
* {{книга
|автор = ПесинФихтенгольц ИГ. НМ.
|заглавие = Курс дифференциального и интегрального исчисления
|заглавие = Развитие понятия интеграла
|год место = 1966М.
|издательство = Наука
}}
|год = 1969
* {{книга
|автор = Никольский С. М.
|часть = Глава 9. Определённый интеграл Римана
|заглавие = Курс математического анализа
|том = 1
|год = 1990
}}
* {{книга
|автор = Ильин В. А., Позняк, Э. Г.
|часть = Глава 6. Неопределённый интеграл
|заглавие = Основы математического анализа
|том = 1
|серия = Курс высшей математики и математической физики
|год = 1998
}}
* {{книга
|автор = Ильин В. А., Позняк, Э. Г.
|часть = Глава 10. Определённый интеграл
|заглавие = Основы математического анализа
|том = 1
|серия = Курс высшей математики и математической физики
|год = 1998
}}
* {{книга
|автор = ДемидовичКолмогоров БА.ПН., Фомин С.В.
|заглавие = Элементы теории функций и функционального анализа
|часть = Отдел 3. Неопределённый интеграл
|место = М.
|заглавие = Сборник задач и упражнений по математическому анализу
|издательство = Наука
|серия = Курс высшей математики и математической физики
|год = 19901976
}}
* {{книга
|автор = ДемидовичВиноградов БИ.ПМ. (гл. ред.)
|часть = Отдел 4. Определённый интегралИнтеграл
|заглавие = Математическая энциклопедия
|заглавие = Сборник задач и упражнений по математическому анализу
|том = 2
|серия = Курс высшей математики и математической физики
|годместо = 1990М.
|год = 1977
}}
 
== Ссылки ==
* {{MathWorld|Integral|Integral}}
* [http://integrals.wolfram.com Wolfram Integrator  — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы [[Mathematica]]
* {{Из БСЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/90723|Интеграл}}
* [http://youintegral.ru/ Аналог Wolfram Integrator с подробным решением интегралов]
* «[http://ru.yasno.tv/article/math/42-chto-takoe-integral-eto-umnozhenie Интеграл как умножение]»  — перевод статьи [http://betterexplained.com/articles/a-calculus-analogy-integrals-as-multiplication/ A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | BetterExplained] {{ref-en}}
 
{{Интегральное исчисление}}