Метод Феррари: различия между версиями

нет описания правки
м (→‎Описание метода: Знак "минус" в первой дроби в формуле для "гаммы" вынесен из числителя.)
Нет описания правки
'''Метод [[Феррари Лодовико|Феррари]]'''  — аналитический метод решения [[Алгебраическое уравнение|алгебраического уравнения]] [[уравнение четвёртой степени|четвёртой степени]].
 
== Описание метода ==
Пусть уравнение 4-й степени имеет вид
{{Формула|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 \,</math>.|1}}
Если <math>y_1</math>  — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического уравнения]]
{{Формула|<math>y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0 \,</math>|2}}
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
: <math>W=\sqrt{ \alpha + 2 y}</math>
: <math> x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.</math>
:: Два ±<sub>s</sub> - — один и тот же знак при нахождении конкретного x, при этом ±<sub>t</sub> будет другим или тем же. Все корни x можно найти при всех четырёх комбинациях знаков ±<sub>s</sub> и ±<sub>t</sub>: "«+,+"»; "«+,−"»; "«−,+"» и "«−,−"». Двойные корни появятся два раза, тройные корни  — три раза и корни четвёртого порядка  — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней ''U'' выбран.
 
== Вывод ==
Пусть имеется уравнение вида:
: <math>\ x^4+ax^2+bx+c =0 </math>
Обозначим корни уравнения как <math>x_1, x_2, x_3, x_4 </math>.
В канонической форме будет выполняться соотношение
: <math>\ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0:</math>
Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:
 
: <math>\ x_1=W+iK</math>
: <math>\ x_2=W-iK </math>
: <math>\ x_3=-W+iV</math>
: <math>\ x_4=-W-iV</math>
 
Причём W,V –действительные-действительные числа.
Выразим a через корни уравнения
: <math>\ a= x_1x_2+ x_1x_3+ x_1x_4+ x_2x_3+ x_2x_4+ x_3x_4= x_1x_2+(x_1+ x_2)(x_3+x_4)+ x_3x_4=</math>
: <math>\ =(W^2+K^2)+ (W^2+V^2)-4W^2= V^2+K^2-2W^2</math>
Выразим К через остальные коэффициенты:
: <math>\ K^2=a+2W^2- V^2</math>
: <math>\ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2</math>
или
: <math>\ V^4-(a+ 2W^2) V^2 +c-3W^4 - aW^2=0</math>
Итого
: <math>\ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4})</math>
: <math>\ b= x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+ x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4 =(W^2+K^2)\cdot(-2W)+ (W^2+V^2)\cdot(2W)=2W(V^2-K^2)=</math>
: <math>\ =2W(2V^2- a-2W^2 )=2W\cdot\sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4}</math>
 
Или <math>\ b^2=2W^2\cdot( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4)</math>
Отсюда <math>\ 32 W^6 +16aW^4+2(a^2-4c) W^2-b^2=0</math>
 
Заменяя <math>\ y=W^2</math> получаем резольвенту, решив которую , находим W
 
== История ==
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика [[Кардано, Джероламо|Джероламо Кардано]] и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен [[Формула Кардано|алгоритм решения кубических уравнений]]; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения [[Уравнение четвёртой степени|уравнений четвёртой степени]]. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге "«Высокое искусство"».
 
== См. также ==
* [[Теорема Абеля — Руффини]]
* [[Формула Кардано]]
 
== Ссылки ==
 
* [http://www.resolventa.ru/spr/algebra/ferrary.htm Метод Феррари и разбор на примере]
* [http://members.tripod.com/l_ferrari/quartic_equation.htm Поэтапный разбор решения Феррари на примере]{{ref-en}}
 
[[Категория:Алгебраические уравнения]]
 
[[en:Quartic function#Ferrari's solution]]
78 688

правок