Собственный вектор: различия между версиями

[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
связность
м е-ё
Строка 1:
[[Файл:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|270px|Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является ''собственным вектором'', соответствующим ''собственному значению'' <math>\lambda=1</math>. Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует ''собственное подпространство''.]]
'''Собственный вектор'''  — понятие в [[Линейная алгебра|линейной алгебре]], определяемое для [[Квадратная матрица|квадратной матрицы]] или произвольного [[Линейное отображение|линейного преобразования]] как [[Вектор (математика)|вектор]], умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт [[Коллинеарность|коллинеарный]] вектор  — тот же вектор, умноженный на некоторое [[скаляр]]ное значение, называемое '''собственным числом''' матрицы или линейного преобразования.
 
Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называется '''собственным подпространством''', множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования  — [[Спектр оператора|спектром матрицы или преобразования]].
 
== Определения ==
Пусть <math> L </math>  — [[линейное пространство]] над [[Поле (алгебра)|полем]] <math> K </math>, <math> A\colon L \to L </math>  — [[Линейное отображение|линейное преобразование]].
 
''Собственным вектором'' линейного преобразования <math>A</math> называется такой ненулевой [[Вектор (алгебра)|вектор]] <math> x \in L </math>, что для некоторого <math> \lambda \in K </math>
Строка 12:
''Собственным значением'' линейного преобразования <math> A</math> называется такое число <math> \lambda \in K </math>, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение <math> A x = \lambda x</math> имеет ненулевое решение <math> x \in L </math>.
 
Упрощённо говоря, ''собственный вектор''  — любой ненулевой вектор <math>x</math>, который отображается оператором в коллинеарный <math>\lambda x</math>, а соответствующий скаляр <math>\lambda</math> называется ''собственным значением'' оператора.
 
''Собственным подпространством'' линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного числа <math> \lambda \in K </math> (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов <math> x \in L </math>, соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его <math> E_{\lambda} </math>. По определению,
: <math> E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot E)</math>
 
где <math>E</math>  — единичный оператор.
 
''Корневым вектором'' линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного значения <math> \lambda \in K </math> называется такой ненулевой вектор <math> x \in L </math>, что для некоторого натурального числа <math> m </math>
Строка 45:
: <math> V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} </math> если <math> \lambda \neq \mu </math>.
 
* Метод поиска собственных значений для самосопряженныхсамосопряжённых операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даетдаёт [[теорема Куранта — Фишера]].
 
=== Конечномерные линейные пространства ===
Строка 60:
: <math> P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)</math>
 
: где <math> \lambda_i \; (i=1,\ldots,n )</math>  — собственные значения; некоторые из <math> \lambda_i</math> могут быть равны. ''Кратность собственного значения'' <math> \lambda_i</math>  — это число множителей равных <math> \lambda - \lambda_i</math> в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также ''алгебраическая кратность собственного значения'').
 
* Размерность корневого пространства <math>V_{\lambda_i}</math> равна кратности собственного значения.
* Векторное пространство <math> L</math> разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о [[Жорданова форма|жордановой форме]]):
: <math> L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}</math>
: где суммирование производится по всем <math>\lambda_i</math>  — собственным числам <math> A</math>.
* ''Геометрическая кратность собственного значения'' <math> \lambda_i</math>  — это размерность соответствующего собственного подпространства <math> E_{\lambda_i} </math>; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку <math> E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i} </math>
 
=== [[Гильбертово пространство|Гильбертовы пространства]] над полем комплексных чисел и нормальные операторы ===
Строка 87:
* В ''конечномерном случае'', сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора <math>A\colon \C^n \to \C^n</math>, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
: <math> L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i}, </math>
: где суммирование производится по всем <math>\lambda_i</math>  — собственным числам <math> A</math>, а <math> E_{\lambda_i} </math> взаимно ортогональны для различных <math>\lambda_i</math>.
 
* Последнее свойство для нормального оператора над <math>\C</math> является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном [[базис]]е (в конечномерном случае).
Строка 94:
Квадратная вещественная <math>n \times n</math> матрица <math>A=(a_{ij})</math> называется положительной, если все её элементы положительны: <math>a_{ij} > 0</math>.
 
'''Теорема Перрона''' (частный случай [[Теорема Фробениуса — Перрона|теоремы Перрона  — Фробениуса]]): Положительная квадратная матрица <math>A</math> имеет положительное собственное значение <math>r</math>, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению <math>r</math> соответствует собственный вектор <math>e_r</math>, все координаты которого строго положительны. Вектор <math>e_r</math>  — единственный собственный вектор <math>A</math> (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.
 
Собственный вектор <math>e_r</math> может быть вычислен посредством ''прямых итераций'': выберем произвольный начальный вектор <math>v_0</math> с положительными координатами. Положим:
Строка 101:
Последовательность <math>v_{k}</math> сходится к нормированному собственному вектору <math>e_r / \|e_r\|</math>.
 
Другая область применения метода прямых итераций  — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.
 
== Неравенства для собственных значений ==
* '''Неравенство Шура''' Пусть <math>\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}</math>  — собственные значения матрицы <math>A = (a_{ij})_{i , j = 1, \ldots , n}</math>.
Тогда
:: <math>\sum_{i=1}^{n}|\lambda_{i}|^{2} \leqslant \sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}</math>,
: причемпричём равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>A</math>  — [[нормальная матрица]]{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=206|1996}}.
* Пусть <math>\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}</math>  — собственные значения матрицы <math>A=B+iC</math>, где матрицы <math>B, C</math> эрмитовы. Тогда:
:: <math>\sum_{i=1}^{n}| Re \lambda_{i}|^{2} \leqslant \sum_{i,j=1}^{n}|b_{ij}|^{2}</math> и <math>\sum_{i=1}^{n}| Im \lambda_{i}|^{2} \leqslant \sum_{i,j=1}^{n}|c_{ij}|^{2}</math>{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=207|1996}}
* Пусть <math>A, B</math>  — эрмитовы матрицы, <math>C = A + B</math>. Упорядочим собственные значения этих матриц в порядке возрастания: <math>\alpha_{1} \leqslant ... \leqslant \alpha_{n}, \beta_{1} \leqslant ... \leqslant \beta_{n}, \gamma_{1} \leqslant ... \leqslant \gamma_{n}</math>. Тогда <math>\gamma_{i} \geqslant \alpha_{i} + \beta_{i-j+1}</math> при <math>i \geqslant j</math> и <math>\gamma_{i} \leqslant \alpha_{i} + \beta_{i-j+n}</math> при <math>i \leqslant j</math>{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=207|1996}}
 
== См. также ==