Двойственное пространство: различия между версиями

Нет описания правки
'''Сопряжённое пространство''' или '''двойственное пространство'''  — пространство [[линейный функционал|линейных функционалов]] на данном линейном пространстве.
 
== Линейно-сопряжённое пространство  — определение ==
Пространство всех линейных функционалов, определённых на [[Линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>.
 
== Свойства ==
 
* В конечномерном случае сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>:
*: любому базису <math>\{ e^i \}_{i=1}^n</math> из <math>E</math> можно поставить в соответствие т. н. ''двойственный базис'' <math>\{ e_i \}_{i=1}^n</math> из <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i\,</math>  — проектор на вектор <math style="vertical-align:-10%;">\,e^i</math>:
*: <math> e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E</math>
*Если Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть на нём определено [[скалярное произведение]], то существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>.
*Если Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>.
* В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому <math>E^{**}</math>, совпадает с <math>E</math> (точнее, существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^{**}</math>).
 
== Обозначения ==
В конечномерном случае обычно элементы пространства <math>E</math> обозначают вектором-столбцом, а элементы <math>E^*</math>  — вектором-строкой {{Нет АИ|10|5|2011}}. В [[тензорное исчисление|тензорном исчислении]] применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или ''контравариантный'' индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ''ковариантный'' индекс).
 
== Вариации и обобщения ==
* В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
* Термин ''сопряжённое пространство'' может иметь иное значение для линейных пространств над [[комплексное число|полем комплексных чисел]]: пространство <math>\bar E</math>, совпадающее с <math>E</math> как [[вещественное число|вещественное]] линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
*: <math>{\bar c} {\bar x} = \overline{cx}</math>
** При наличии в пространстве [[эрмитова метрика|эрмитовой метрики]] (например, в [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
 
== Ссылки ==
 
{{math-stub}}
[[Категория:Теория операторов]]
[[Категория:Топологические пространства функций]]
 
[[pl:Moduł dualny#Przestrzenie liniowe]]
78 688

правок