Унитарный оператор: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Yosya05 (обсуждение | вклад) |
Glovacki (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
'''Унитарный оператор''' — [[Ограниченный оператор|ограниченный]] [[Линейное отображение|линейный]] [[Оператор (математика)|оператор]] ''U''
: <math>U^*U=UU^*=I \!</math>
где ''U''<sup>∗</sup> — эрмитово сопряжённый к ''U'' оператор, и ''I''
# ''U'' сохраняет [[скалярное произведение]] 〈 , 〉 гильбертового пространства, то есть, для всех [[векторное пространство|векторов]] ''x'' и ''y'' в гильбертовом пространстве, <math>\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.</math>▼
▲# ''U'' сохраняет [[скалярное произведение]] 〈
Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:
Строка 13 ⟶ 12 :
# образ ''U'' — [[плотное множество]].
Чтобы увидеть это, заметим, что ''U'' изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что ''U'' сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ ''U''
'''Унитарный элемент''' это обобщение понятия унитарного оператора. В [[Унитарная алгебра|унитарной]] [[*-алгебра|*-алгебре]], элемент ''U'' алгебры называется унитарным элементом если
Строка 26 ⟶ 25 :
== Примеры ==
* [[Тождественный оператор]] — тривиальный пример унитарного оператора.
* Вращения в <math> \mathbb{R}^2 </math> — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на <math> \mathbb{R}^3 </math>.
* В векторном пространстве <math> \mathbb{C} </math> комплексных чисел умножение на число с модулем <math> 1 </math>, то есть число вида <math> e^{i \theta} </math> для <math> \theta \in \mathbb{R} </math>, является унитарным оператором. <math> \theta </math> называется фазой. Можно заметить, что значение <math> \theta </math>, кратное <math> 2\pi </math>, не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в <math> \mathbb{C} </math> топологически эквивалентно окружности.
== Свойства ==
* [[Спектр оператора|Спектр]] унитарного оператора ''U'' лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из [[Спектральная теорема|спектральной теоремы]] для [[Нормальный оператор|нормального оператора]]. По этой теореме, ''U'' унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию <math> f </math> на <math> L^2(\mu) </math>, для некоторого пространства с мерой (<math> X </math>, <math> \mu </math>). Из <math> UU^* =I </math> следует <math> |f(x)|^2 = 1 </math>.
== Унитарные преобразования в физике ==
В [[квантовая механика|квантовой механике]] состояние квантовой системы описывается вектором в [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени
== Примечания ==
Строка 44 ⟶ 39 :
[[Категория:Теория операторов]]
| |||