Неприводимый многочлен: различия между версиями

* Над полем [[вещественное число|вещественных чисел]] любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный [[дискриминант]].

* Над любым полем [[алгебраическое число|алгебраических чисел]] существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен <math>x^n+px+p</math>, где <math>n>1</math> и <math>p</math> ― некоторое простое число, неприводим в силу [[критерий Эйзенштейна|критерия Эйзенштейна]].

* Если <math>k = F_q</math> — [[конечное поле]] из <math>q</math> элементов, а <math>n</math> — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из <math>k[x]</math>.

* Предположим <math>A</math> ― [[целозамкнутое кольцо]] с полем частных <math>k</math> (например <math>A=\Z</math> и <math>k=\mathbb Q</math>) и <math>p\in A[x]</math> ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда <math>p=qr</math> в <math>k[x]</math>, причём <math>q</math> и <math>r</math> имеют старший коэффициент 1, то <math>q,r\in A[x]</math>.