Википедия

Идеал (алгебра): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
→‎Основные конструкции: викификация, орфография
Строка 56:
 
== Основные конструкции ==
 
* '''Главные идеалы.''' Если ''p'' принадлежит ''R'', a ''k'' любое целое число то <math>\{pr+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}</math> — будет минимальным правым идеалом, содержащим ''p'', а <math>\{rp+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}</math> — минимальным левым идеалом в ''R''. Они называются, соответственно, [[Главный идеал|главными]] правым и левым идеалом, порожденными ''p''. В коммутативном случае эти идеалы совпадают и обозначаются также ''(p)''. Если кольцо ''R'' содержит единичный элемент, то так как <math>kp=(k*1)p=p(k*1)</math>, главные идеалы, порождённые ''a'' можно записать <math>pR = \{pr:\,r\in R\}</math> и <math>Rp = \{rp:\,r\in R\}</math> соответственно. Всякий идеал, содержащий элемент ''p'', содержит и главный идеал, им порождённый.
 
Строка 63 ⟶ 62 :
* '''Сумма идеалов.''' Если в кольце ''R'' задано произвольное семейство идеалов <math>I_{\alpha} </math>, их суммой <math>\sum I_{\alpha}</math> называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения. (Само объединение идеалов обычно идеалом не является.) Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют [[Решётка (теория множеств)|решётку]]. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).
 
* '''Пересечение идеалов''' (как [[пересечение множеств]]) всегда является идеалом. С другой стороны, '''объединение''' двух идеалов является идеалом только тогда, когда один из них — подмножество другого. Действительно, пусть <math>\mathfrak a</math> и <math>\mathfrak b</math> — два (левых) идеала, ни один из которых не явлетсяявляется подмножеством другого, и <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b</math> является левым идеалом. В этом случае, очевидно, <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b</math> — наименьший идеал, содержащий <math>\mathfrak a</math> и <math>\mathfrak b</math>, то есть <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b=\mathfrak a+ \mathfrak b</math>. Существует элемент <math>a\in \mathfrak a, a\notin \mathfrak b</math>. Тогда для любого <math>b\in \mathfrak b\; a+b\notin \mathfrak b</math>, так как в этом случае <math>a\in \mathfrak b</math>, следовательно, <math>a+b\in \mathfrak a</math> и <math>b\in \mathfrak a</math>, поэтому <math>\mathfrak b\subset \mathfrak a</math> — противоречие.
 
* '''Произведение идеалов.''' Произведением идеалов ''I'' и ''J'' называется идеал ''IJ'', порождённый всеми произведениями ''ab'', где ''a'' — элемент идеала ''I'', ''b'' — элемент идеала ''J''. Бесконечное произведение идеалов неопределено.
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Идеал_(алгебра)