Полупрямое произведение: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
|||
Строка 10:
В качестве группы <math>G</math> — полупрямого произведения групп <math>H</math> и <math>N</math> над гомоморфизмом <math>\phi</math> — берётся множество <math>N\times H</math> c [[бинарная операция|бинарной операцией]] <math>*</math>, действующей по правилу:
: <math>(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2)</math> для любых <math>n_1,n_2 \in N</math>, <math>h_1,h_2 \in H</math>.
==Свойства==▼
# Группы <math>H</math> и <math>N</math> естественно вложены в <math>G</math>, причём <math>N</math> — [[нормальная подгруппа]] в <math>G</math>.▼
# Каждый элемент <math>g\in G</math> однозначно разложим в произведение <math>g=nh</math>, где <math>h</math> и <math>n</math> — элементы групп <math>H</math> и <math>N</math> соответственно. (Это свойство оправдывает название группы <math>G</math> как полупрямого произведения групп <math>H</math> и <math>N</math>.)▼
# Заданное действие <math>\phi</math> группы <math>H</math> на группе <math>N</math> совпадает с действием <math>H</math> на <math>N</math> [[сопряжение|сопряжениями]] (в группе <math>G</math>).▼
Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе <math>G</math> (свойство универсальности полупрямого произведения групп).▼
{{Hider|
Строка 26 ⟶ 33 :
* Равенство <math>(\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1}</math> показывает, что действие группы ''H'' на ''N'', задаваемое гомоморфизмом <math>\phi</math> совпадает с действием ''H'' на ''N'' сопряжениями.
* Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой <math>(n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2)</math>. <br> Из неё следует, что произведение в группе ''G'' с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы ''N'') полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп ''N'' и ''H'' и правилами сопряжения элементов из ''N'' элементами из ''H''.}}
▲==Свойства==
▲# Группы <math>H</math> и <math>N</math> естественно вложены в <math>G</math>, причём <math>N</math> — [[нормальная подгруппа]] в <math>G</math>.
▲# Каждый элемент <math>g\in G</math> однозначно разложим в произведение <math>g=nh</math>, где <math>h</math> и <math>n</math> — элементы групп <math>H</math> и <math>N</math> соответственно. (Это свойство оправдывает название группы <math>G</math> как полупрямого произведения групп <math>H</math> и <math>N</math>.)
▲# Заданное действие <math>\phi</math> группы <math>H</math> на группе <math>N</math> совпадает с действием <math>H</math> на <math>N</math> [[сопряжение|сопряжениями]] (в группе <math>G</math>).
▲Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе <math>G</math> (свойство универсальности полупрямого произведения групп).
== Пример ==
| |||