Двойственное пространство: различия между версиями

* В конечномерном случае сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>:
*: любому базису <math>\{ e^i \}_{i=1}^n</math> из <math>E</math> можно поставить в соответствие так называемый ''двойственный'' (или ''взаимный'') базис'' <math>\{ e_i \}_{i=1}^n</math> из <math>E^*</math>, где функционал <math>e_i\,</math> — проектор на вектор <math style="vertical-align:-10%;">\,e^i</math>:
*: <math>
*: <math> e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.</math>
* Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть на нём определено [[скалярное произведение]], то существует канонический изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>.
* Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>.