Двойственное пространство: различия между версиями

 
== Определение ==
ПространствоМножество всех [[Линейный непрерывный оператор|непрерывных линейных функционалов]], определённых на [[ЛинейноеТопологическое векторное пространство|топологическом линейном пространстве]] <math>E</math>, также образует линейное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. Множество всех линейных функционалов на <math>E</math>, не обязательно непрерывных, называется ''алгебраически сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^{\#}</math>.
 
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда линейное пространство <math>E</math> конечномерное (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство <math>E^* = E^{\#}</math> состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на <math>E</math>. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда пространство <math>E</math> бесконечномерное, (рассматриваемомвообще обычно в функциональном анализе)говоря, условие<math>E^* непрерывности\neq существенноE^{\#}</math>.
 
В [[тензорное исчисление|тензорном исчислении]] применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или ''контравариантный'' индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ''ковариантный'' индекс).