Анализ (раздел математики): различия между версиями

Функциональный анализ как раздел характеризуется наличием в качестве предмета изучения [[Топологическое векторное пространство|топологических векторных пространств]] и их отображений с наложенными на них различными алгебраическими и топологическими условиями{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=1|loc=One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings <math>u: \Omega \to F</math> from a part <math>\Omega</math> of a topological vector space <math>E</math> into a topological vector space <math>F</math>, these mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions}}. Центральную роль играют в функциональном анализе играют функциональные пространства, классический пример — [[Lp (пространство)|пространства <math>L^p</math>]] всех [[Измеримая функция|измеримых функций]], чья <math>p</math>-я степень интегрируема; при этом уже <math>L^2</math> — бесконечномерное пространство ([[гильбертово пространство]]), и пространства бесконечных размерностей присущи функциональному анализу настолько, что иногда весь раздел определяется как часть математики, изучающая бесконечномерные пространства и их отображения<ref>{{БСЭ3|Функциональный анализ}}</ref>. Важнейшей формой пространств в классических разделах функционального анализа являются [[Банахово пространство|банаховы пространства]] — нормированные векторные пространства, полные по метрике, порождённой нормой: значительная доля интересных на практике пространств являются таковыми, среди них — все гильбертовы пространства, пространства <math>L^p</math>, [[Пространство Харди|пространства Харди]], [[Пространство Соболева|пространства Соболева]]. Важную роль играют в функциональном анализе играют алгебраические структуры, являющиеся банаховыми пространствами — [[Банахова решётка|банаховы решётки]] и [[Банахова алгебра|банаховы алгебры]] (в том числе — {{iw|C*-алгебра|<math>C^*</math>-алгебры|en|C*-algebra}}, [[Алгебра фон Неймана|алгебры фон Неймана]]).