Среднее Колмогорова: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Уточнение описания свойства. |
Maxal (обсуждение | вклад) разделы, оформление |
||
Строка 1:
'''Среднее Колмогорова''' или '''среднее по Колмогорову''' для действительных чисел <math>x_1,\ldots,x_n</math> — это
: <math>(*)\qquad M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left(\frac1{n} \sum_{k=1}^n \varphi (x_k)\right) =\varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \ldots +\varphi (x_n) }{n}\right)</math>
где <math>\varphi</math> — непрерывная строго монотонная функция, а <math>\varphi^{-1}</math> — функция, [[обратная функция|обратная]] к <math>\varphi</math>.
== Примеры == При этом выбор определённых функций <math>\varphi</math> даёт различные классические средние: * при <math>\varphi(x)=x</math> — [[среднее арифметическое]];
* при <math>\varphi(x) = \log x</math> — [[среднее геометрическое]];
Строка 10 ⟶ 13 :
* при <math>\varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha\ne 0</math> — [[среднее степенное]].
== Свойства ==
В 1930 году [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]] показал,<ref>{{книга |автор=Колмогоров А. Н. |год=1985 |часть=Математика и механика |заглавие=Избранные труды |том=1 |ответственный=отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров |место=М. |издательство=Наука |страницы=136-138}}</ref> что любая средняя величина <math>M(x_1,\ldots,x_n)</math> имеет вид <math>(*)</math>, если она обладает свойствами:
* [[непрерывная функция|непрерывности]],
Строка 17 ⟶ 21 :
* замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе <math>x_1,\ldots,x_n</math> на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.
== Приложения ==
Средние Колмогорова используют в [[прикладная статистика|прикладной статистике]] и [[эконометрика|эконометрике]]. В соответствии с [[метрология|теорией измерений]], для усреднения данных, измеренных в [[шкала|шкале]] интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.<ref>{{книга |автор=Орлов А. И. |заглавие=Эконометрика |издание=3-е изд |место=М. |издательство=Экзамен |год=2004 |страниц=596 |часть=Глава 2 |ссылка=http://orlovs.pp.ru/econ.php#ek1}}</ref><ref>{{книга |автор=Орлов А. И. |заглавие=Прикладная статистика |место=М. |издательство=Экзамен |год=2006 |страниц=671 |часть=Раздел 5.3 |ссылка=http://orlovs.pp.ru/stat.php#k1}}</ref>
== Обобщения ==
Для [[Непрерывная функция|непрерывно распределённой величины]] <math>f(x)</math> среднее Колмогорова на отрезке <math>[a;b]</math>:
: <math>\qquad M_{[a;b]}(f(x)) = \varphi^{-1} \left(\frac1{b-a} \int_{a}^b \varphi (f(x)) dx\right).</math>
== Литература ==▼
{{примечания}}▼
== См. также ==
* [[Колмогоров, Андрей Николаевич]]
* [[Прикладная статистика]]
* [[Эконометрика]]
▲== Литература ==
▲{{примечания}}
[[Категория:Математический анализ]]
| |||