Универсальное свойство: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Danneks (обсуждение | вклад) упрощения |
Merdiginn (обсуждение | вклад) м опечатки |
||
Строка 37:
«Любое линейное отображение из ''V'' в ''K''-алгебру ''A'' может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр ''T(V)'' → ''A''.»
Это утверждение описывает начальное свойство тензорной алгебры, то есть тот факт, что пара (''T''(''V''), ''i''), где ''i'' : ''V'' → ''T''(''V'') — стандартное вложение, является начальной стрелкой из векторного пространства ''V'' в функтор ''U''. Мы получили функтор ''T'' из '''''K''-Vect''' в '''''K''-Alg''' Это значит, что ''T'' является левым сопряженным функтором забывающего функтора ''U'' (см. раздел «связь с
=== Произведения ===
Строка 66:
Если каждый объект ''X''<sub>''i''</sub> категории ''C'' допускает начальную стрелку в ''U'', то соответствия <math>X_i \mapsto A_i</math> и <math>h \mapsto g</math> определяют функтор ''V'' из ''C'' в ''D''. А отображения φ<sub>''i''</sub> тогда определяют [[естественное преобразование]] из 1<sub>''C''</sub> (тождественный функтор ''C'') в ''UV''. Функторы (''V'', ''U'') образуют пару [[сопряженные функторы|сопряженных функторов]]. Аналогичные утверждения верны в двойственной ситуации терминальных морфизмов из ''U'', в этом случае (''U'', ''V'') будут парой сопряженных функторов.
В действительности все пары сопряженных функторов получаются из конструкций такого вида. Пусть ''F'': ''С'' → ''D'' и ''G'': ''D'' → ''C'' — пара
* Для каждого объекта ''X'' из ''C'', (''F''(''X''), η<sub>''X''</sub>) — начальная стрелка из ''X'' в ''G''. То есть для всех ''f'': ''X'' → ''G''(''Y'') существует единственный ''g'': ''F''(''X'') → ''Y'', для которого следующие диаграммы коммутируют.
* Для каждого объекта ''Y'' из''D'', (''G''(''Y''), ε<sub>''Y''</sub>) — терминальная стрелка из ''F'' в ''Y''. То есть для всех ''g'': ''F''(''X'') → ''Y'' существует единственный ''f'': ''X'' → ''G''(''Y''), для которого следующие диаграммы коммутируют.
| |||