Аксиома детерминированности: различия между версиями

Многие следствия конкурирующих аксиом в теории множеств и топологии противоположны друг другу. С помощью аксиомы выбора доказано, что существуют [[Множество Витали|множества вещественных чисел]], [[Мера Лебега|неизмеримые по Лебегу]]; из аксиомы детерминированности следует, что таких множеств не существует — все множества вещественных чисел измеримы. По-разному рещается [[проблема континуума]] (существование промежуточных [[Мощность множества|мощностей]] между [[Счётное множество|счётной]] и [[Континуум (теория множеств)|континуальной]]) — аксиоматика Цермело-Френкеля допускает любой из двух вариантов решения этой проблемы (то есть она не может быть быть ни доказана, ни опровергнута), в то время как из аксиомы детерминированности выводится однозначное решение: любое бесконечное несчётное множество вещественных чисел континуально. Имеются и многочисленные иные отличия: [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядочить]] аксиома детерминированности разрешает не любые, а лишь только конечные и счётные множества, лишается основания [[нестандартный анализ]]{{sfn |Кановей В. Г.|1984|с=51}}. Упомянутая выше [[дескриптивная теория множеств]] особенно плохо согласуется с аксиомой выбора — многие выдвинутые в этой теории гипотезы, подобно континуум-гипотезе, оказались неразрешимы, в то время как аксиома детерминированности позволяет эти гипотезы строго доказать; это объясняет большой интерес к данной аксиоме математиков, исследующих дескриптивную теорию множеств{{sfn |Кановей В. Г.|1985|с=4}}.