Площадь: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ThePaulSp (обсуждение | вклад) Метка: визуальный редактор отключён |
Wikifido (обсуждение | вклад) орфография |
||
Строка 46:
==== Полярные координаты ====
В [[Полярные координаты|полярных координатах]]: площадь, ограниченная графиком функции <math>r=r(\theta )</math> и лучами <math>\theta = \theta_1, \theta = \theta_2, \theta_1<\theta_2</math> вычисляется по формуле:
Строка 88 ⟶ 87 :
* [[Квадратный сантиметр]], 10 000 см² = 1 м²;
* [[Квадратный миллиметр]], 1 000 000 мм² = 1 м²;
* [[Барн]], 1 б = 10<sup>−28</sup>
=== Русские устаревшие ===
Строка 104 ⟶ 103 :
=== Другие ===
* [[Рай (мера площади)|Рай]] = 1600 [[м²]] (40 м
* Квадратный парсек
* [[Планковская площадь]] (<math>S_P, {\ell}_{P}^{2}</math>) ≈ 2,612099 · 10<sup>
== Формулы вычисления площадей простейших фигур ==
=== [[Многоугольник]]и ===
{| class="wikitable"
! [[Фигура (геометрия)|Фигура]]
Строка 132 ⟶ 130 :
| <math>a</math> и <math>b</math> — любые две стороны, <math>\alpha</math> — угол между ними
|-
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> <br /> ([[формула Герона]])
| <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> — стороны треугольника, <math>p</math> — полупериметр <math>\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)</math>
|-
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}</math>
| <math>(x_0;y_0)</math>, <math>(x_1;y_1)</math>, <math>(x_2;y_2)</math>
|-
| [[Квадрат]]
Строка 162 ⟶ 160 :
|-
| Произвольный [[четырёхугольник]]
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos\alpha}</math> <br /> ([[формула Брахмагупты]])
| <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> — стороны четырёхугольника, <math>p</math> — его полупериметр, <math>\alpha</math> — полусумма противолежащих углов четырёхугольника
|-
Строка 178 ⟶ 176 :
|-
| Произвольный [[многоугольник]] (выпуклый и невыпуклый)
| style="text-align:center" | <math>\frac{1}{2}\left|\sum^{n}_{i=1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}+y_i)\right|</math> <br /> ([[метод трапеций]])
| <math>(x_i;y_i)</math>
|}
=== Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур ===
{| class="wikitable"
! Фигура
Строка 210 ⟶ 207 :
|-
| Четырёхугольник, вписанный в окружность
| style="text-align:center" | <math>\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math> <br /> ([[формула Брахмагупты]])
| <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> — стороны четырёхугольника, <math>p</math> — его полупериметр
|-
Строка 219 ⟶ 216 :
| Прямоугольная трапеция, описанная около окружности
| style="text-align:center" | <math>ab</math>
| <math>a</math>, <math>b</math>
|}
=== Площади поверхностей тел в пространстве ===
{| class="wikitable"
! Тело
Строка 245 ⟶ 241 :
| Поверхность [[сфера|сферы]] ([[шар]]а)
| style="text-align:center" | <math>4\pi r^2</math> или <math>\pi d^2</math>
| <math>r</math> и <math>d</math>
|}
Строка 251 ⟶ 247 :
=== Площадь плоских фигур ===
Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади{{sfn|Геометрия|1966|с=7—13}}. В [[Математика в Древнем Египте|Древнем Египте]] использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и [[погрешность]] в таком случае оставалась небольшой. Историк математики [[Юшкевич, Адольф Павлович|А.
Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «[[Начала Евклида|Начал]]» [[Евклид]]а, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту{{sfn|История математики, т. I|1970|с=111—114}}. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников<ref name="kvant"/>.
Строка 259 ⟶ 255 :
Индийцы поначалу пользовались той же формулой для вычисления четырёхугольников, что египтяне и греки. [[Брахмагупта]] пользовался [[Формула Брахмагупты|формулой]] для площади четырёхугольников, выраженной через его полупериметр., которая верна для вписанного в окружность четырёхугольника. Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками{{sfn|История математики, т. I|1970|с=197—198}}. Формула Брахмагупты представляет собой аналог [[Формула Герона|формулы Герона]] для площади треугольника, которую тот привёл в своей «Метрике»{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|p=172, 219}}.
Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. В 1604 году в работе «Три книги о центре тяжести тел» Валерио широко использует теорему, по которой разность между площадями вписанной и описанной фигур, составленных из параллелограммов можно сделать меньше любой данной площади{{sfn|История математики, т. II|1970|с=131—135}}. Настоящий прорыв был сделан [[Кеплер, Иоганн|Кеплером]], которому для астрономических расчётов нужно было уметь вычислять площадь эллипса. Кеплер рассматривал площадь как «сумму линий» и, разлиновывая эллипс с шагом в один градус, показал{{sfn|История математики, т. II|1970|с=166—171}}, что <math>\int\limits_0^\varphi \sin x dx = 1 - \cos \varphi</math>. [[Кавальери, Бонавентура|Кавальери]], обосновывая подобный метод, названный «[[Метод неделимых|методом неделимых]]», сравнивал площади плоских фигур, используя сечение фигур параллельными прямыми{{sfn|История математики, т. II|1970|с=174—181}}. Применение [[Первообразная|первообразной]] для нахождения площади плоской фигуры является наиболее универсальным методом. С помощью первообразной доказывается [[принцип Кавальери]], по которому две плоские фигуры имеют равную площадь, если при пересечении каждой
=== Площадь поверхности ===
| |||