Символ Лежандра: различия между версиями

* [[Мультипликативная функция|Мультипликативность]]: <math>\textstyle \left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>.

** В частности, если <math>a</math> не делится на <math>p</math>, то <math>\textstyle \left(\frac{a^2}{p}\right) = 1.</math>

** Если <math>a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}</math> — [[каноническое разложение]] <math>a</math> на простые сомножители, то <math>\textstyle \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{p_1}{p}\right)^{\alpha_1 \mod 2} \cdot \left(\frac{p_2}{p}\right)^{\alpha_2 \mod 2} \cdot \ldots \cdot \left(\frac{p_k}{p}\right)^{\alpha_k \mod 2}.</math>

* Если <math>a\equiv b\pmod p</math>, то <math>\textstyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right).</math>

* <math>\textstyle \left(\frac{1}{p}\right)=1.</math>

* <math>\textstyle \left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}.</math>

* <math>\textstyle \left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}.</math>

*:<math>\textstyle \left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\cdot\left(\frac{p}{q}\right).</math>

* Среди чисел <math>\textstyle 1\leqslant a\leqslant p-1</math> ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — равный −1.