Википедия

Абсолютная величина: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.
Строка 1:
[[Файл:Absolute value.svg|right|thumb|220px|<center>График вещественной функции</center>]]
[[Файл:Complex number.svg|thumb|<center>Модуль <math>|z|</math> и другие характеристики комплексного числа <math>z</math></center>]]
'''Абсолю́тная величина́''' или '''мо́дуль''' числа <math>x</math> (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа <math>x</math>. Обозначается: <math>~|x|</math>.
 
В случае [[Вещественное число|вещественного]] <math>x</math> абсолютная величина есть непрерывная [[кусочно-линейная функция]], определённая следующим образом:
: <math>\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0 \end{cases} </math>
 
Обобщением этого понятия является [[модуль комплексного числа|модуль]] [[Комплексное число|комплексного числа]] <math>~z=x+iy,</math> также иногда называемый абсолютной величиной<ref>{{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |год=1982 |том=1 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>. Он определяется по формуле:
: <math>|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}</math>
 
== Основные свойства ==
С геометрической точки зрения, модуль [[Вещественное число|вещественного]] или [[Комплексное число|комплексного числа]] есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина <math>~|x_1 - x_2|</math> означает расстояние между точками <math>~x_1</math> и <math>~x_2</math> и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.
 
=== Вещественные числа ===
* Область определения: <math>(- \infty ; + \infty )</math>.
* Область значений: <math>~ [0; + \infty )</math>.
* Функция [[Чётная функция|чётная]].
* Функция [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]] всюду, кроме нуля. В точке <math>x = 0</math> функция претерпевает [[Точка излома|излом]].
Строка 20:
=== Комплексные числа ===
* Область определения: вся [[комплексная плоскость]].
* Область значений: <math>~ [0; + \infty )</math>.
* Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку [[условия Коши-Римана]] не выполнены.
 
== Алгебраические свойства ==
Для любых вещественных чисел <math>~a, b </math> имеют место следующие соотношения:
* <math>~\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \} </math> (см. [[Функция sgn(x)]]).
* <math> a \leqslant |a| </math>
* <math>-|a| \leqslant a </math>.
* Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: <math>~|a|^2 = a^2</math>
 
Как для вещественных, так и для комплексных <math>~a, b </math> имеют место соотношения:
* Модуль любого числа равен либо больше нуля: <math>|a| \geqslant 0</math>, причём <math>|a|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>~a=0</math>
* Модули противоположных чисел равны: <math>|-a| = |a|</math>
* Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: <math>|ab| = |a||b|</math>
* Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: <math>~~~ \left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}</math>
* Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: <math>|ab| = a|b|, a>0</math>
* <math>|a+b| \leqslant |a|+|b|</math> ([[неравенство треугольника]]).
* <math>|a-b| \leqslant |a|+|b|</math>.
* <math>~|a|-|b| \leqslant |a+b| </math>.
* <math>~|a \pm b| \geqslant ||a|-|b|| </math>.
* <math>~|a^k| = |a|^k</math>, если <math>~a^k</math> существует.
 
== История ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Абсолютная_величина