Архимедова спираль: различия между версиями

 

Повороту луча ''OV'' на один и тот же угол соответствует одно и то же [[приращение (математика)|приращение]] ρ.

 

Уравнение Архимедовой спирали в [[полярная система координат|полярной системе координат]] записывается так:

 

 

где ''k'' — смещение точки ''M'' по лучу ''r'', при повороте на угол равный одному радиану.

Число ''a'' — называется '''шагом спирали'''. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

 

 

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

 

 

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям <math>\varphi</math> соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по [[Прямая|прямой]] UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

 

== Площадь сектора ==

Площадь <math>S</math> сектора OCM:

 

&nbsp;&nbsp;<math>\left(2 \right)</math>

 

При <math>\rho = 0</math>, <math>\rho' = a</math>, <math>\varphi = 2\pi</math>, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

 

 

где <math>S'_1</math> — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — <math>a</math>.

 

== Вычисление длины дуги Архимедовой спирали ==

Бесконечно малый отрезок дуги <math>dl</math> равен (см. Рис.3):

 

 

 

где <math>d\rho</math> — [[приращение (математика)|приращение]] радиуса <math>\rho</math>, при приращении угла <math>\varphi</math> на <math>d\varphi</math>.

Для бесконечно малого приращения угла <math>d\varphi</math>, справедливо:

 

 

Поэтому:

 

 

так как <math>\rho = k\varphi</math> и

или

 

 

 

Длина дуги <math>L</math> равна интегралу от <math> dl </math> по <math> d \varphi </math> в пределах от <math> 0 </math> до <math> \varphi</math>:

 

 

 

{{примечания}}

 

{{Кривые}}