Многочлены Цернике: различия между версиями

'''Полиномы Цернике''' — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на [[Единичный круг|единичном круге]]. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя [[Фазово-контрастная микроскопия|фазово-контрастного микроскопа]] [[Цернике, Фриц|Фрица Цернике]]. Они играют важную роль в [[оптика|оптике]]<ref>

{{cite journal

}}</ref>.

 

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике. Чётные полиномы определены как

 

 

а нечётные как

 

 

где ''m'' и ''n'' — неотрицательные [[Целое число|целые числа]], такие что ''n''≥''m'', ''φ'' — азимутальный угол, а ''ρ'' — радиальное расстояние, <math>0\le\rho\le 1</math>. Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от &minus;1 до +1, т.е. <math>|Z^{m}_n(\rho,\varphi)| \le 1</math>.

для чётных значений ''n'' &minus; ''m'' , и тождественно равны нулю для нечётных ''n'' &minus; ''m'' .

 

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения [[Биномиальный коэффициент|биномиальных коэффициентов]], можно показать, что коэффициенты при степенях <math>\rho</math> суть целые числа:

 

для четных значений ''n'' − ''m''.

 

 

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

:<math>\int_0^1 \rho \sqrt{2n+2}R_n^m(\rho)\,\sqrt{2n'+2}R_{n'}^{m}(\rho)\,d\rho = \delta_{n,n'}.</math>

где параметр <math>\varepsilon_m</math> (его иногда называют [[Нейман, Карл Готфрид|множителем Неймана]]) полагают равным ''2'', если <math>m=0</math>, и равным ''1'', если <math>m\neq 0</math>. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

:<math>\int Z_n^m(\rho,\varphi)Z_{n'}^{m'}(\rho,\varphi) \, d^2r =\frac{\varepsilon_m\pi}{2n+2}\delta_{n,n'}\delta_{m,m'},</math>

 

 

=== Радиальные полиномы ===

Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{{math-stub}}