Список интегралов от тригонометрических функций: различия между версиями

м
Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.
м (Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.)
 
== Интегралы, содержащие только [[синус (функция)|синус]] ==
: <math>\int\cossin cx\;dx = -\frac{1}{c}\sincos cx\,\!</math>
 
: <math>\int\sin^n cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{cnc} + \cosfrac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\,;dx \!qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\sin^n cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!</math>
<!--
: <math>\int\sqrt{1 - \sin{x}}\,dx = \int\sqrt{\operatorname{cvs}{x}}\,dx = 2 \frac{\cos{\frac{x}{2}} + \sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}} - \sin{\frac{x}{2}}} \sqrt{1-\sin{x}} </math>
 
 
: <math>\int x\sin cx\;dx = \frac{\sin cx}{c^2}-\frac{x\cos cx}{c}\,\!</math>
 
: <math>\int x^2\sin cx\;dx
= \frac{2\cos cx}{c^3}
+ \frac{2x\sin cx}{c^2}
- \frac{x^2\cos cx}{c}</math>
\,\!</math>
 
: <math>\int x^3\sin cx\;dx
+ \frac{6x\cos cx}{c^3}
+ \frac{3x^2\sin cx}{c^2}
- \frac{x^3\cos cx}{c}</math>
\,\!</math>
 
: <math>\int x^4\sin cx\;dx
+ \frac{12x^2\cos cx}{c^3}
+ \frac{4x^3\sin cx}{c^2}
- \frac{x^4\cos cx}{c}</math>
\,\!</math>
 
: <math>\int x^5\sin cx\;dx
+ \frac{20x^3\cos cx}{c^3}
+ \frac{5x^4\sin cx}{c^2}
- \frac{x^5\cos cx}{c}</math>
\,\!</math>
 
: <math>
 
 
: <math>\int x^n\sin cx\;dx = -\frac{x^n}{c}\cos cx+\frac{n}{c}\int x^{n-1}\cos cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin cx}{x} dx = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i\frac{(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin cx}{x^n} dx = -\frac{\sin cx}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{c}{n-1}\int\frac{\cos cx}{x^{n-1}} dx\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\ln \left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin^n cx} = \frac{\cos cx}{c(1-n) \sin^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n>1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1\pm\sin cx} = \frac{1}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)</math>
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{1\pm\sin cx} = \pm x+\frac{1}{c}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{cx}{2}\right)</math>
 
: <math>\int\sin c_1x\sin c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}-\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[косинус]] ==
: <math>\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\sin cx</math>
 
: <math>\int\cos cx\;dx = \frac{1}{c}\sin cx\,\!</math>
 
: <math>\int\sincos^n cx\;dx = -\frac{\sincos^{n-1} cx\cossin cx}{nc} + \frac{n-1}{n}\int\sincos^{n-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int x\cos^n cx\;dx = \frac{\cos^{n-1} cx\sin cx}{ncc^2} + \frac{n-1}{n}x\int\cos^{n-2}sin cx\;dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)c}\,\!</math>
 
: <math>\int x^n\cos cx\;dx = \frac{x^n\cossin cx}{c^2} +- \frac{x\sin cxn}{c}\,int x^{n-1}\!sin cx\;dx</math>
 
: <math>\int x^n\frac{\cos cx\;}{x} dx = \fracln|cx|+\sum_{xi=1}^n\sin cx}{c}infty (- 1)^i\frac{n}(cx)^{c2i}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,2i\cdot(2i)!}</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx}{x^n} dx = -\ln|cx|+\sum_frac{i=1}^\inftycos cx}{(n-1)x^i{n-1}}-\frac{(c}{n-1}\int\frac{\sin cx)}{x^{2in-1}}{2i dx \cdotqquad\mbox{(2i)! }n\,neq 1\!mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx}{x^n} dx = -\frac{\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{c}{n-1}\int\frac{\sin cx}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1) cos^{n-1} cx} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n>1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1+\cos cx} = \frac{1}{c}\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1-\cos cx} = -\frac{1}{c}\operatorname{ctg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{x\;dx}{1+\cos cx} = \frac{x}{c}\operatorname{tg}\frac{cx}{2} + \frac{2}{c^2}\ln\left|\cos\frac{cx}{2}\right|</math>
: <math>\int\frac{x\;dx}{1-\cos cx} = -\frac{x}{c}\operatorname{ctg}\frac{cx}{2}+\frac{2}{c^2}\ln\left|\sin\frac{cx}{2}\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{1+\cos cx} = x - \frac{1}{c}\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{1-\cos cx} = -x-\frac{1}{c}\operatorname{ctg}\frac{cx}{2}\,\!</math>
 
: <math>\int\cos c_1x\cos c_2x\;dx = \frac{\sin(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)}+\frac{\sin(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[тангенс]] ==
: <math>\int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx= - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2cc}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\operatorname{tg}^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\ln|operatorname{tg}^{n-1} cx-\cosint\operatorname{tg}^{n-2} cx|\,;dx \!qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\operatorname{tg}^n cx\;dx + 1} = \frac{1x}{c(n-1)2} + \operatornamefrac{tg1}^{n-12c} cx-\intln|\operatorname{tg}^{n-2}sin cx\;dx \qquad\mbox{(+ }n\neqcos 1\mbox{)}\,\!cx|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\operatorname{tg} cx +- 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx +- \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx -+ 1} = -\frac{x}{2} +- \frac{1}{2c}\ln|\sin cx -+ \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx +- 1} = \frac{x}{2} -+ \frac{1}{2c}\ln|\sin cx +- \cos cx|\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2c}\ln|\sin cx - \cos cx|\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[секанс]] ==
 
:<math>\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\left| \sec{cx} + \operatorname{tg}{cx}\right|}</math>
 
:<math>\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \sin {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \operatorname{tg}{\frac{x}{2}}</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[косеканс]] ==
 
:<math>\int \csc{cx} \, dx = -\frac{1}{c}\ln{\left| \csc{cx} + \operatorname{ctg}{cx}\right|}</math>
 
:<math>\int \csc^n{cx} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{cx} \cos{cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[котангенс]] ==
: <math>\int\frac{dx}{1 - \operatorname{ctg} cx}\;dx = \int\frac{\operatorname1}{tgc} cx\;dx}{ln|\operatorname{tg}sin cx-1}\,\!|</math>
 
: <math>\int\operatorname{ctg}^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)}\ln|operatorname{ctg}^{n-1} cx - \sinint\operatorname{ctg}^{n-2} cx|\,;dx \!qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\operatornamefrac{ctg}^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n-1)} + \operatorname{ctg}^{n-1} cx} -= \int\frac{\operatorname{ctg}^{n-2tg} cx\;dx }{\qquad\mboxoperatorname{( tg}n\neq cx+1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1 +- \operatorname{ctg} cx} = \int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx+-1}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{1 - \operatorname{ctg} cx} = \int\frac{\operatorname{tg} cx\;dx}{\operatorname{tg} cx-1}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только синус и косинус ==
 
: <math>\int\frac{dx}{\cos cx\pm\sin cx} = \frac{1}{c\sqrt{2}}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos cx(1-\sin cx)} = \frac{1}{4c}\operatorname{tg}^2\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{cx}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\sin cx\cos cx\;dx = \frac{1}{2c}\sin^2 cx\,\!</math>
 
: <math>\int\sin c_1x\cos c_2x\;dx = -\frac{\cos(c_1+c_2)x}{2(c_1+c_2)}-\frac{\cos(c_1-c_2)x}{2(c_1-c_2)} \qquad\mbox{( }|c_1|\neq|c_2|\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\sin^n cx\cos cx\;dx = \frac{1}{c(n+1)}\sin^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\sin cx\cos^n cx\;dx = -\frac{1}{c(n+1)}\cos^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos^{m+1} cx}{c(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} cx\cos^m cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = \frac{\sin^{n+1} cx\cos^{m-1} cx}{c(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n cx\cos^{m-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg} cx\right|</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin cx\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin cx\cos^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin^n cx\cos cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx\cos cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{1}{c(n-1)\cos^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{1}{c}\sin cx+\frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{cx}{2}\right)\right|</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^2 cx\;dx}{\cos^n cx} = \frac{\sin cx}{c(n-1)\cos^{n-1}cx}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n+1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-m)\cos^{m-1} cx}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n-1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-1} cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin cx} = \frac{1}{c}\left(\cos cx+\ln\left|\operatorname{tg}\frac{cx}{2}\right|\right)</math>
: <math>\int\frac{\cos^2 cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos cx}{c\sin^{n-1} cx)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} cx}\right) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n+1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{cos^n cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = \frac{\cos^{n-1} cx}{c(n-m)\sin^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}\,\!</math>
 
:<math>\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n-1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только синус и тангенс ==
: <math>\int \frac{sin cx \operatorname{tg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c}(n-1)}\ln|\sec cx + \operatorname{tg}^{n-1} (cx)| \qquad\mbox{(- }n\neqsin 1\mbox{cx)}\,\!</math>
 
: <math>\int \sin cx frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c}(\ln|\sec cx + n-1)}\operatorname{tg}^{n-1} (cx|) -\qquad\mbox{( }n\sinneq cx)1\,\!mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n-1)}\operatorname{tg}^{n-1} (cx) \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только косинус и тангенс ==
: <math>\int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{tg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{tg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{tg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только синус и котангенс ==
: <math>\int\frac{\cosoperatorname{ctg}^n cx\;dx}{x\sin^n2 cx} dx = -\frac{\cos cx1}{c(n-+1)x^{n-1}}-\fracoperatorname{cctg}^{n-+1}\int\frac{\sin cx}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\sin^2 cx} = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{ctg}^{n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только косинус и котангенс ==
: <math>\int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\sincos^2 cx} = \frac{1}{c(n+1-n)}\operatorname{ctgtg}^{1-n+1} cx \qquad\mbox{( }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int\frac{\operatorname{ctg}^n cx\;dx}{\cos^2 cx} = \frac{1}{c(1-n)}\operatorname{tg}^{1-n} cx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
== Интегралы, содержащие только тангенс и котангенс ==
: <math>\int \frac{\operatorname{ctgtg}^n m(cx\;dx)}{\cosoperatorname{ctg}^2 n(cx)}\;dx = \frac{1}{c(1-m+n-1)}\operatorname{tg}^{1-m+n-1} (cx) - \int \frac{\operatorname{tg}^{m-2}(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx\qquad\mbox{( }m + n \neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
: <math>\int \frac{\operatorname{tg}^m(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx = \frac{1}{c(m+n-1)}\operatorname{tg}^{m+n-1}(cx) - \int \frac{\operatorname{tg}^{m-2}(cx)}{\operatorname{ctg}^n(cx)}\;dx\qquad\mbox{( }m + n \neq 1\mbox{)}\,\!</math>
 
{{Библиография для списков интегралов}}