Сходимость по Чезаро: различия между версиями

м
Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
м (Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.)
 
== Определение ==
 
Ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> называется сходящимся по Чезаро порядка ''k'' или ''(C, k)''-сходящимся с суммой ''S'', если:
: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S</math>
 
== Свойства ==
 
При ''k = 0'' сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при ''k = 1'' ряд является сходящимся с суммой ''S'', если <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S,</math> где <math> s_j = a_1 + \cdots + a_j</math> — частичные суммы ряда.
 
Методы ''(C, k)'' нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при <math>k \geq 0</math> и не являются регулярными при <math>k < 0</math>. Сила метода возрастает с увеличением ''k'': если ряд является сходящимся для ''k'', то он является сходящимся с той же суммой для ''k<sup>'</sup>'' при ''k<sup>'</sup> > k > −1''.
 
При ''k <-1'' это свойство не сохраняется.
 
Если ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> является ''(C, k)''-сходящимся, то <math>a_n = o(n^k)\,</math>.
 
Сходимость по Чезаро ''(C, k)'' равносильна и совместима со сходимостью [[Гёльдер, Отто|Гёльдера]] ''(H, k)'' и [[Рис, Марсель|Риса]] ''(R, n, k)'' (k >0). При любом ''k > −1'' метод ''(C, k)'' слабее метода [[Абель, Нильс Генрих|Абеля]].
 
== Пример ==
 
Пусть ''a''<sub>n</sub> = (-1)<sup>n+1</sup> для ''n'' ≥ 1. То есть, {''a''<sub>n</sub>} является последовательностью
 
: <math>1, -1, 1, -1, \ldots.\,</math>
 
Последовательность частичных сумм {''s''<sub>n</sub>} имеет вид:
 
: <math>1, 0, 1, 0, \ldots,\,</math>
 
и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(''s''<sub>1</sub> + … + ''s''<sub>n</sub>)/''n''} являются
 
== Примечания ==
{{примечания}}
{{reflist}}
 
== Ссылки ==
300 072

правки