Эллиптический фильтр: различия между версиями

м
Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.
м
м (Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.)
 
== Свойства ==
 
[[Файл:CauerResponse1.png|thumb|right|340px|АЧХ эллиптического фильтра низких частот четвёртого порядка с ε=0,5 и ξ=1,05. Также показано минимальное усиление в полосе пропускания, максимальное усиление в полосе подавления и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ]]
[[Файл:CauerResponse2.png|thumb|right|340px| Переходная зона (увеличено).]]
 
* В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения <math>L_n</math>, которое определяется как:
: <math>L_n=R_n(\xi,\xi)\,</math>
: АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до <math>1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}</math>.
 
 
== Полюсы и нули ==
 
[[Файл:EllipticGain8.png|right|thumb|300px|Логарифм модуля АЧХ эллиптического фильтра 8 порядка на плоскости комплексной частоты (s=σ+jω) с ε=0,5, ξ=1,05 и <math>\omega_0=1</math>. Белые пятна — полюса, тёмные — нули. Всего на графике 16 полюсов и 8 нулей второго порядка. На графике чёрный цвет соответствует усилению менее 0,0001, а белый — усилению более 10.]]
[[Файл:EllipticGain8a.png|right|thumb|300px|Переходная зона фильтра (увеличено).]]
Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса <math>(\omega_{pm})</math> эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту <math>s=\sigma+j\omega,</math> получим:
 
: <math>1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0\,</math>
 
Пусть <math>-js=\mathrm{cd}(w,1/\xi)</math>, где cd — [[Эллиптическая функция Якоби|эллиптическая косинус-функция Якоби]]. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:
 
: <math>1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0\,</math>
 
где <math>K=K(1/\xi)</math> and <math>K_n=K(1/L_n)</math>. Разрешив относительно ''w''
Полюса эллиптической функции в таком случае:
 
: <math>s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi).\,</math>
 
Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме
 
== Эллиптические фильтры с минимальной добротностью ==
[[Файл:Elliptic8_QfactorElliptic8 Qfactor.png|300px|thumb|right|Нормированные добротности для полюсов эллиптического фильтра восьмого порядка с ξ=1,1 как функции показателя пульсаций ε. Каждая кривая представляет четыре полюса, так как комплексно сопряжённые и противоположные по знаку пары полюсов имеют одинаковую добротность. Добротность всех полюсов имеет минимум при ε<sub>Qmin</sub>=1/√L<sub>n</sub>=0,02323…]]
 
См.<ref>{{книга
 
== Сравнение с другими линейными фильтрами ==
 
Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов: