Кратность критической точки: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Бот удаляет нижнее подчеркивание x_ --> x Это делает все формулы неправильными! |
удалил принудительные пробелы руками |
||
Строка 12:
В случае, когда функции <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n</math> имеют в точке <math>O</math> линейно независимые [[градиент]]ы (это условие равносильно тому, что [[гессиан]] функции <math>f</math> отличен от нуля), кратность <math>\mu=1</math>, и критическая точка <math>O</math> называется '''невырожденной'''.
Удобно также положить <math>
== Функции одной переменной ==
Строка 20:
\frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0,
</math>
при этом значение <math>
[[Лемма Морса|Теорема Тужрона]] в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности <math>\mu</math> существуют координаты, в которых функция имеет вид
{{рамка}}
:<math>f(x)=x^{\mu+1}.
{{/рамка}}
Строка 56:
== Теорема деления ==
{{рамка}}
Пусть <math>f: \R^{n+1}\to\R</math> — гладкая функция от <math>n+1</math> переменной <math>x,y_1, \ldots, y_n</math>, имеющая точку <math>0\in\R^{n+1}</math> своей критической точкой кратности <math>0 \le \mu < \infty</math> по переменной <math>x
<math>
Строка 67:
<math>f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)</math>
где <math>\varphi</math> и <math>a_{i}
<math>
{{/рамка}}
Строка 79:
{{рамка}}
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>
Введем следующие обозначения:
Строка 85:
* <math>I_{f} = (f_1, \ldots, f_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>f_1, \ldots, f_n.</math>
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>
{{/рамка}}
|