Кратность критической точки: различия между версиями

удалил принудительные пробелы руками
(Бот удаляет нижнее подчеркивание x_ --> x Это делает все формулы неправильными!)
(удалил принудительные пробелы руками)
 
В случае, когда функции <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n</math> имеют в точке <math>O</math> линейно независимые [[градиент]]ы (это условие равносильно тому, что [[гессиан]] функции <math>f</math> отличен от нуля), кратность <math>\mu=1</math>, и критическая точка <math>O</math> называется '''невырожденной'''.
Удобно также положить <math>\,\mu=0</math> в случае некритической точки.
 
== Функции одной переменной ==
\frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0,
</math>
при этом значение <math>\,\mu=0</math> соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции <math>\nabla f = {\partial f}/{\partial x}</math> начинается с члена <math>x^{\mu},\,</math> то любой элемент <math>g \in \R[[x]]</math> представим в виде <math>g=p_{\mu-1}+ \alpha \cdot \nabla f</math>, где <math>\alpha \in \R[[x]]</math> и <math>p_{\mu-1}\,</math> — многочлен степени <math>\mu-1,\,</math> задаваемый <math>\mu\,</math> коэффициентами, т.е. <math>\dim \, \R[[x]]/I_{\nabla f} = \mu.</math>
 
[[Лемма Морса|Теорема Тужрона]] в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности <math>\mu</math> существуют координаты, в которых функция имеет вид
{{рамка}}
:<math>f(x)=x^{\mu+1}.\,</math>
{{/рамка}}
 
== Теорема деления ==
{{рамка}}
Пусть <math>f: \R^{n+1}\to\R</math> — гладкая функция от <math>n+1</math> переменной <math>x,y_1, \ldots, y_n</math>, имеющая точку <math>0\in\R^{n+1}</math> своей критической точкой кратности <math>0 \le \mu < \infty</math> по переменной <math>x\,</math>, т.е.
 
<math>
<math>f(x,y_1, \ldots, y_n) = \varphi(x,y_1, \ldots, y_n) \cdot \Bigl(x^{\mu+1}+ \sum_{i=0}^{\mu} a_{i}(y_1, \ldots, y_n)x^{\mu-i}\Bigr), \quad \ (**)</math>
 
где <math>\varphi</math> и <math>a_{i}\,</math> — гладкие функции своих аргументов, <math>\varphi(x,y_1, \ldots, y_n)</math> не обращается в нуль и <math>a_{i}(0,\ldots,0)=0\,</math> для всех
<math>\,i<\mu</math>.
{{/рамка}}
 
 
{{рамка}}
Пусть <math>f: \R^n\to\R^n</math> — <math>C^{\infty}</math>-гладкое отображение, имеющее <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Отображение <math>\,f</math> задается набором <math>n</math> функций <math>f_1, \ldots, f_n</math> от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>.
 
Введем следующие обозначения:
* <math>I_{f} = (f_1, \ldots, f_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>f_1, \ldots, f_n.</math>
 
Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>\,I_{f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}</math> называется '''кратностью''' отображения <math>f</math> в точке <math>O.</math>
{{/рамка}}