Комплексный анализ: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
NapalmBot (обсуждение | вклад) м Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ. |
Pafnutiy (обсуждение | вклад) |
||
Строка 32:
(здесь <math>h</math> — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется ''дифференцируемой'' или ''[[голоморфная функция|голоморфной]]''. При этом
: <math>f(z+h)-f(z)=\frac{df}{dz}\cdot h+o(h).</math>
Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к <math>z</math> с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент <math>u,\;v</math> и определяет их жёсткую взаимосвязь ([[условия Коши — Римана]], они же условия Эйлера — Даламбера)<ref name=SMI15/>:
: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.</math>
Отсюда следует, что дифференцируемости компонент <math>u</math> и <math>v</math> недостаточно для дифференцируемости самой функции.
Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного<ref name=SMI15/>:
* Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки <math>z</math> комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и [[аналитическая функция|аналитична]], то есть её [[ряд Тэйлора]] сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином ''аналитическая функция''
* ([[Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях|Теорема Лиувилля]]): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
* Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются [[Гармоническая функция|гармоническими функциями]], то есть удовлетворяют [[Уравнение Лапласа|уравнению Лапласа]]:
| |||