Википедия

Конечномерное пространство: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
м Исправление дублирования секции примечаний.
Строка 3:
Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется '''размерностью векторного пространства'''.
 
Конечномерное пространство, в котором введено [[скалярное произведение]] его элементов называется [[евклидово пространство|'''евклидовым''']]. Конечномерное пространство, в котором введена [[Норма (математика) |норма]] его элементов называется [[нормированное пространство|''' конечномерным нормированным''']]. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве [[Метрическое пространство|метрику]].
 
__TOC__
 
== Свойства конечномерных пространств ==
 
Всякий элемент <math>x</math> конечномерного пространства <math>X</math> представим единственным образом в виде
: <math>x=a_1 e_1+a_2 e_2+...+a_n e_n,</math>
Строка 17 ⟶ 16 :
* Пусть X — конечномерное пространство и <math>\{x_1, x_2,...,x_k\}</math> — [[Линейная независимость|линейно-независимая]] система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до [[базис]]а.
* Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
* В любом конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> можно ввести [[скалярное произведение]]. Например, в пространстве <math>X</math> с фиксированным базисом, размерности <math>n</math>, можно ввести скалярное произведение по правилу:<br /> <math>\forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k</math>, где <math>\{a_k\},\{b_k\}</math> — компоненты векторов <math>x_1</math> и <math>x_2</math> соответственно.<br /> Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> можно ввести [[Нормированное пространство|норму]] и [[Метрическое пространство|метрику]]. Как следствие, можно получить что:
** <math>X</math> — [[рефлексивное пространство]]<ref>Это факт можно получить как при помощи [[Теорема представлений Риса|теоремы Рисса-Фреше]], так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.</ref>.
** Пространство <math>X^*</math>, [[Сопряжённое пространство|сопряжённое]] к некоторому конечномерному пространству <math>X</math>, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью <math>X</math>.
Строка 31 ⟶ 30 :
 
== Примеры ==
 
*[[Евклидово пространство]] <math>\mathbb E^3</math> имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов
:<math>\left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}</math>
Строка 43 ⟶ 41 :
== Примечания ==
{{примечания}}
 
<references/>
== Литература ==
*{{книга
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Конечномерное_пространство