Линейное отображение: различия между версиями

м
Исправление дублирования секции примечаний.
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
м (→‎Связанные понятия: исправление ссылки)
м (Исправление дублирования секции примечаний.)
множество всех линейных отображений из <math>L_K</math> в <math>M_K</math> превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как <math>\mathcal{L}(L_K, M_K)</math>
 
=== Ограниченные линейные операторы. Норма оператора ===
 
Если векторные пространства <math>L_K</math> и <math>M_K</math> являются [[Линейное топологическое пространство|линейными топологическими пространствами]], то есть на них определены [[Топологическое пространство|топологии]], относительно которых операции этих пространств [[Непрерывное отображение|непрерывны]], то можно определить понятие ограниченного оператора: линейный оператор называется ограниченным, если он переводит [[ограниченные множества (топологические векторные пространства)|ограниченные множества]] в ограниченные (в частности, все непрерывные операторы ограничены). В частности, в [[нормированное пространство|нормированных пространствах]] множество ограничено, если норма любого его элемента ограничена, следовательно, в этом случае оператор называется ограниченным, если существует число ''N'' такое что <math>\forall x \in L_K, \|Ax\|_{M_K}\leqslant N\|x\|_{L_K}</math>. Можно показать, что в случае нормированных пространств непрерывность и ограниченность операторов эквивалентны. Наименьшая из постоянных ''N'', удовлетворяющая указанному выше условию, называется '''нормой оператора''':
 
Введение нормы операторов позволяет рассматривать пространство линейных операторов как нормированное линейное пространство (можно проверить выполнение соответствующих аксиом для введенной нормы). Если пространство <math>M_K</math> — [[банахово пространство|банахово]], то и пространство линейных операторов тоже банахово.
 
== Обратный оператор ==
{{main|Обратный оператор}}
Оператор <math>A^{-1}</math> называется обратным линейному оператору <math>A</math>, если выполняется соотношение:
Оператор <math>A^{-1}</math>, обратный линейному оператору <math>A</math>, также является ''линейным'' оператором. Если <math>A</math>- линейный непрерывный оператор, отображающий одно [[банахово пространство]] (или [[F-пространство]]) в другое, то и обратный оператор тоже является линейным непрерывным оператором.
 
== Матрица линейного оператора ==
<!-- Пусть линейный оператор <math>A</math> действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {<math>e_n</math>} как <math>x=\sum_{k} \alpha_k e_k</math>, причем из ортнонормированности базиса следует, что <math>\alpha_k=(x,e_k)</math>. Тогда вектор <math>y=Ax</math> можно разложить в том же базисе с коэффициентами <math>\beta_k=(Ax,e_k)=\sum_{i} (Ae_i,e_k)\alpha_i=\sum_{i} a_{ij} \alpha_i</math>, где <math>a_{ij}=(Ae_i,e_k)</math>. Таким образом, в координатном представлении <math>\beta=A \alpha</math>, где <math>\alpha</math> - координатное представление вектора <math>x</math>, а <math>\beta</math>-координатное представление вектора <math>y</math>, соответственно <math>A=</math> {<math>a_{ij}</math>}-матрица оператора в данном базисе.
 
 
=== Пример преобразования ===
 
[[Файл:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Векторы представлены как матрица 2 x 2, образованная сторонами соответствующего единичного квадрата, трансформируемого в параллелограмм.]]
 
 
== Важные частные случаи ==
* '''[[Эндоморфизм|ЛинейныйЛинейная эндоморфизмформа]]''' — линейный оператор, для которого <math>L M = MK</math>:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon L_K\to L_KK</math>
 
* '''[[ЛинейнаяЭндоморфизм|Линейный формаэндоморфизм]]''' — линейный оператор, для которого <math> ML = KM</math>:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon L_K\to KL_K</math>
* '''[[Эндоморфизм|Линейный эндоморфизм]]''' — линейный оператор, для которого <math>L = M</math>:<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f\colon L_K\to L_K</math>
* '''[[Тождественный оператор]]''' (единичный оператор)— оператор <math>x \mapsto x</math>, отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)
* '''[[Аннулятор|Нулевой оператор]]''' — оператор, переводящий каждый элемент <math>L_K</math> в нулевой элемент <math>M_K</math>.
== Примечания ==
{{примечания}}
 
<references/>
== См. также ==
* [[Непрерывный линейный оператор|Линейный непрерывный оператор]]
300 072

правки