Единичный квадрат: различия между версиями

м
→‎Свойства: стилевые правки
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
(→‎Единица площади: стилевые правки)
м (→‎Свойства: стилевые правки)
* Единичный квадрат является «кругом» диаметра 1 в смысле [[Равномерная норма|равномерной нормы]] (<math>L^\infty</math>), то есть множество точек, которые расположены на расстоянии 1/2 в смысле равномерной нормы от центра с координатами (1/2,1/2), является единичным квадратом<ref>{{Книга|автор=Athanasios C. Antoulas|заглавие=Approximation of Large-Scale Dynamical Systems|ссылка=https://books.google.com/books?id=HntlsoAR0NoC&pg=PA29|ответственный=|издание=|место=|издательство=SIAM|год=2009-06-25|страницы=29|страниц=489|isbn=9780898716580}}</ref>.
* [[Георг Кантор|Кантор]] доказал, что существует [[взаимнооднозначное соответствие]] между единичным отрезком и единичным квадратом. Этот факт настолько противоречит интуиции, что Кантор в 1877 году писал [[Дедекинд, Рихард|Дедекинду]]: «Я вижу это, но не верю»<ref>{{Книга|автор=Сергей Деменок|заглавие=Фрактал: между мифом и ремеслом|ссылка=https://books.google.com/books?id=SwxNDAAAQBAJ&pg=PA156|ответственный=|издание=|место=|издательство=Litres|год=2016-06-08|страницы=156|страниц=298|isbn=9785040137091}}</ref><ref>{{Книга|автор=Michael J. Bradley|заглавие=The Foundations of Mathematics: 1800 to 1900|ссылка=https://books.google.com/books?id=EMnyMYGNb70C&pg=PA105|ответственный=|издание=|место=|издательство=Infobase Publishing|год=2006|страницы=104-105|страниц=177|isbn=9780791097212}}</ref>.
* Ещё более удивительный факт был открыт [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] в 1890 году: оказывается существует ''[[Непрерывное отображение|непрерывное]]'' отображение отрезка [[отображение на|на]] квадрат. Примером такого отображения является [[кривая Пеано]], первый пример заполняющей пространство кривой. Кривая Пеано задаёт ''непрерывное'' отображение единичного отрезка на квадрат, так, что для каждой точкеточки квадрата, найдется соответствующая точка отрезка<ref>{{Книга|автор=Сергей Сизый|заглавие=Математические задачи. Студенческие олимпиады математико-механического факультета Уральского госуниверситета|ссылка=https://books.google.com/books?id=H7PdCwAAQBAJ&pg=PA34|ответственный=|издание=|место=|издательство=Litres|год=2016-04-14|страницы=34|страниц=128|isbn=9785040047086}}</ref>.
* НеТем не менее, не существует ''взаимнооднозначного'' непрерывно отображения отрезка в квадрат. Кривая Пеано содержит кратные точки, то есть она проходит через некоторые точки квадрата более одного раза. Таким образом, кривая Пеано не задаёт ''взаимноодназначного'' соответствия. В действительности легко доказать, что отрезок не [[Гомеоморфизм|гомеоморфен]] квадрату, значит избежать кратных точек невозможно<ref>{{Книга|автор=Александр Шень, Николай Верещагин|заглавие=Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств|ссылка=https://books.google.com/books?id=gFTpCgAAQBAJ&pg=PA19|ответственный=|издание=|место=|издательство=Litres|год=2015-11-13|страницы=19|страниц=113|isbn=9785457918795}}</ref>.
 
== Открытая проблема ==