Булева алгебра: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки Метки: с мобильного устройства из мобильной версии |
м откат правок 83.220.236.53 (обс) к версии 83.149.19.151 |
||
Строка 1:
: ''Эта статья об [[Алгебраическая система|алгебраической системе]]. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. [[Алгебра логики]].''
'''Булевой алгеброй'''<ref>{{cite web|author=D. A. Vladimirov|date=2002|url=http://eom.springer.de/B/b016920.htm|title=Springer Online Reference Works – Boolean algebra|publisher=Springer-Verlag|accessdate=2010-08-04|lang=en|archiveurl=http://www.webcitation.org/65JKMgr2a|archivedate=2012-02-09}}</ref><ref>{{книга
|автор = Владимиров Д. А.
|часть =
|заглавие = Булевы алгебры
|оригинал =
|ссылка = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vladimirov1969ru.djvu
|ответственный =
|издание =
|место = {{М.}}
|издательство = «Наука»
|год = 1969
|том =
|страницы = 19
|страниц =
|серия =
|isbn =
|тираж =
}}</ref><ref>{{книга
|автор = Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М.
|часть =
|заглавие = Дискретная математика для инженера
|оригинал =
|ссылка =
|ответственный =
|издание =
|место = {{М.}}
|издательство = Энергоатомиздат
|год = 1988
|том =
|страницы = 58
|страниц =
|серия =
|isbn =
|тираж =
}}</ref> называется непустое [[множество]] ''A'' с двумя [[бинарная операция|бинарными операциями]] <math>\land</math> (аналог [[конъюнкция|конъюнкции]]), <math>\lor</math> (аналог [[дизъюнкция|дизъюнкции]]), одной [[унарная операция|унарной операцией]] <math>\lnot</math> (аналог [[отрицание|отрицания]]) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех ''a'', ''b'' и ''c'' из множества ''A'' верны следующие [[аксиома|аксиомы]]:
{| cellpadding=5
|<math> a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c </math>
|<math> a \land (b \land c) = (a \land b) \land c </math>
| [[Ассоциативность (математика)|ассоциативность]]
|-
|<math> a \lor b = b \lor a </math>
|<math> a \land b = b \land a </math>
| [[коммутативность]]
|-
|<math> a \lor (a \land b) = a </math>
|<math> a \land (a \lor b) = a </math>
| законы поглощения
|-
|<math> a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c) </math>
|<math> a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) </math>
| [[дистрибутивность]]
|-
|<math> a \lor \lnot a = 1 </math>
|<math> a \land \lnot a = 0 </math>
| дополнительность
|}
{{Hider|
title = В нотации · + ¯|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
<math>\begin{align}
& a+(b+c)=(a+b)+c & a(bc)=(ab)c \\
& a+b=b+a & ab=ba \\
& a+ab=a & a(a+b)=a \\
& a+bc=(a+b)(a+c) & a(b+c)=ab+ac \\
& a+\bar{a}=1 & a\bar{a} = 0
\end{align}</math>
}}
Первые три аксиомы означают, что (''A'', <math>\land</math>, <math>\lor</math>) является [[Решётка (теория множеств)|решёткой]]. Таким образом, булева алгебра может быть определена как [[дистрибутивная решётка]], в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется [[псевдобулева алгебра|псевдобулевой алгеброй]].
Названа в честь [[Буль, Джордж|Джорджа Буля]].
== Некоторые свойства ==
| |||