Эндоморфизм: различия между версиями

[[Алгебраическая система|алгебраическую систему]] в себя. Более общо, мы можем говорить об эндоморфизмах в произвольной [[теория категорий|категории]]. В любой категории композиция двух эндоморфизмов <math>X</math> также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что эндоморфизмы <math>X</math> образуют [[моноид]], который обозначается <math>\operatorname{End}(X)</math> (или <math>\operatorname{End}_C(X)</math>, чтобы подчеркнуть категорию <math>C</math>).▼

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами [[изоморфизм]]а) называется [[автоморфизм]]ом. Множество автоморфизмов является подмножеством <math>\operatorname{End}(X)</math> с естественной структурой группы, оно обозначается <math>\operatorname{Aut}(X)</math>.▼

Любые два эндоморфизма [[абелева группа|абелевой группы]] можно складывать по правилу <math>(f+g)(a)=f(a)+g(a)</math>. С определенным таким образом сложением, эндоморфизмы любой абелевой группы образуют [[кольцо (математика)|кольцо]], называемое [[кольцо эндоморфизмов|кольцом эндоморфизмов]]. Например, эндоморфизмы [[свободная абелева группа|свободной абелевой группы]] <math>\mathbb Z^n</math> — это кольцо всех <math>n \times n</math> матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта [[предаддитивная категория|предаддитивной категории]]. Эндоморфизмы коммутативного [[моноид]]а образуют [[полукольцо]], а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как [[почтикольцо]].▼