Дзета-функция Римана: различия между версиями

В теории гауссовых [[Интеграл по траекториям|интегралов по траекториям]] возникает задача регуляризации [[Детерминант (математика)|детерминантов]]. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора.{{sfn|Тахтаджян|2011|c=348}} Пусть <math>A</math> — неотрицательно определённый [[самосопряжённый оператор]], имеющий чисто дискретный спектр <math>\mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}</math>. Причём существует [[вещественное число]] <math>\alpha > 0</math> такое, что оператор <math>(I + A)^{- \alpha}</math> имеет [[След оператора|след]]. Тогда дзета-функция <math>\zeta_A(s)</math> оператора <math>A</math> определяется для произвольного [[комплексные числа|комплексного числа]] <math>s</math>, лежащего в полуплоскости <math>\mathrm{Re} s > \alpha</math>, может быть задана сходящимся рядом

: <math>\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}</math>

: <math>\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.</math>