Наивная теория множеств: различия между версиями

'''Наи́вная тео́рия мно́жеств''' — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в ''наивном'' её варианте является немецкий математик [[Кантор, Георг|Георг Кантор]].

== Работы Кантора ==
К созданию абстракции точечного множества егоКантора подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]] (продолжавшие труды [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Римана]]), в которых он вводит понятие [[Предельная точка|предельной точки]], близкое к современному{{Sfn|Медведев|1965|с=86—87}}, и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные){{Sfn|Бурбаки|1963|c=40}}.

Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в [[1873 год в науке|1873 году]] Кантор обнаруживает [[Счётное множество|счётность]] множества [[Рациональное число|рациональных чисел]] и {{нп5|Первое доказательство несчётности множества вещественных чисел|решает отрицательно|en|Cantor's first uncountability proof}} вопрос о равномощности множеств [[Целое число|целых]] и [[Вещественное число|вещественных чисел]] (последний результат публикует в 1874 году по настоянию [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасса]]{{Sfn|Медведев|1965|с=94—95}}{{Sfn|Кантор|1985|с=18—21|loc=2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: [http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583 Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen.] — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262}}). В [[1877 год в науке|1877 году]] Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между [[Вещественное число|<math>\mathbb R</math>]] и <math>\mathbb R^n</math> (для любого <math>n>0</math>). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с [[1879 год в науке|1879 года]] вплоть до 1884 года публикует шесть статей в [[Mathematische Annalen]] с результатами исследований бесконечных точечных множеств{{Sfn|Кантор|1985|с=40—141|loc=5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884)}}{{sfn|Бурбаки|1963|c=40—41}}.

в последующих своих работах многократно используя этот результат{{Sfn|Медведев|1965|с=103—105}}. В публикации [[1878 год в науке|1878 года]] о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие [[Мощность множества|мощности множества]], доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ ({{нп5|Люрот, Якоб|Люрот|de|Jacob Lüroth}}, {{нп5|Томе, Карл|Томе|de|Carl Johannes Thomae}}, [[Нетто, Ойген|Нетто]]) с неудачными попытками доказательствадоказать невозможностиневозможность одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей{{Sfn|Медведев|1965|с=107—110}} (точное доказательство этого факта дал [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэр]] в 1911 году).

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были [[Герман Шварц]] и, в наибольшей степени, [[Кронекер, Леопольд|Леопольд Кронекер]], полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известно его высказывание о том, что <cite>«бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»</cite>). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии{{Sfn|Медведев|1965|с=133—137}}. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады [[Адамар, Жак|Адамара]] и [[Гурвиц, Адольф|Гурвица]] на [[Международный конгресс математиков#Первый конгресс|Первом международном конгрессе математиков]] в Цюрихе ([[1897 год в науке|1897]]), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в [[Математический анализ|анализе]], а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе [[Гильберт, Давид|Гильбертом]]{{Sfn|Бурбаки|1964|с=44,49|loc=''«Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»'' — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году}}.