Коммутант: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Абелизация: Пунктуация. |
Bezik (обсуждение | вклад) м откат правок 77.106.74.87 (обс) к версии NapalmBot |
||
Строка 30:
Факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе [[абелева группа|абелева]] тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы. Факторизация группы <math>G</math> по её коммутанту называется [[Абелизация группы|абелизацией]] и обозначается <math>G_{ab}</math> или <math>G^{ab}</math> или <math>\operatorname{Ab}(G)</math>.
Существует категорная интерпретация отображения <math>\varphi:G\to G^{ab}</math>. А именно, <math>\varphi</math> [[универсальное свойство|универсально]] по отношению ко всем гомоморфизмам из <math>G</math> в абелеву группу: для любого такого гомоморфизма <math>f:G\to H</math> существует единственный гомоморфизм <math>F:G^{ab}\to H</math>, такой что <math>f=F\circ \varphi</math>. Эквивалентным образом, [[забывающий функтор]] из [[Категория абелевых групп|категории абелевых групп]] в категорию всех групп имеет [[Сопряжённые функторы|левый сопряжённый]] — функтор абелизации, сопоставляющий группе её фактор по коммутанту и очевидным образом действующий на морфизмах.
Абелизацию группы <math>G</math> можно вычислить как первые целочисленные [[Гомология (топология)|гомологии группы]]: <math>G_{ab} = H_1 (G, \mathbb{Z} )</math>.
| |||