Разрешимая группа: различия между версиями

В'''Разрешимая [[Алгебра|алгебре]]группа''' — [[группа (математика)|группа]] называется '''разрешимой''', если её [[ряд коммутантов]] которой заканчивается на [[тривиальная группа|тривиальной группе]].

ТерминПонятие «разрешимая группа» возниквозникло в [[теория Галуа|теории Галуа]] в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. А именно,: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его [[группа Галуа]] разрешима.

'''Разрешимая группа''' — это группа <math>G</math>, такая что убывающий [[ряды подгрупп|ряд]]:

: <math>G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,</math>,

в котором каждая следующая группа является коммутантом[[коммутант]]ом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

'''РазрешимаяЕщё группа''' —одно этоэквивалентное группаопределение определяет разрешимую группу как группу, для которой существует хотя бы один [[Ряды подгрупп#Определения|субнормальный ряд]], в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп <math>\{1\}=G_0\leqleqslant G_1\leqleqslant \cdots \leqleqslant G_k=G</math>, такая что <math> G_{j-1}</math> является нормальной подгруппой <math>G_j</math> и <math>G_j/G_{j-1}</math> — [[абелева группа]].

* Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы [[циклическая группа|циклические]] конечного [[порядок группы|порядка]]. Последнее следует из [[Теорема о классификации конечнопорождённых абелевых групп|Теоремытеоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп]].

* Всякая [[подгруппа]] и [[факторгруппа]] разрешимой группы разрешима<ref>{{sfn|Rotman (|1995), page |102</ref>}}.

* [[Симметрическая группа]] <math>S_n</math> является разрешимой тогда и только тогда, когда <math>n\leleqslant 4</math>.

* Группа невырожденных [[верхняя треугольная матрица|верхних треугольных матриц]] '''UT<SUBmath>n\mathbf{UT}_n</SUBmath>''' разрешима.

* Все группы порядка <math><60</math> разрешимы. Группа <math>A_5</math> не разрешиманеразрешима.

* [http://oeis.org/A056866 A056866: Порядки неразрешимых групп], ''[[Энциклопедия целочисленных последовательностей]],— {{OEIS Foundation.''|A056866}}