Непрерывное отображение: различия между версиями

Нет изменений в размере ,  4 года назад
Ёфикация
(Ёфикация)
=== Непрерывность в метрических и нормированных пространствах ===
 
В [[метрическое пространство|метрических пространствах]] топология задаетсязадаётся семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("''эпсилон-дельта''" - определение):
 
Отображение <math>f\colon X \to Y</math> метрического пространства <math>(X,\rho_X)</math> в метрическое пространство <math>(Y,\rho_Y)</math> называется непрерывным в точке <math>a</math>, если для всякого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, что для всякого <math>x\in X</math>, такого, что <math>\rho_X(x,a) < \delta</math>, выполняется неравенство: <math>\rho_Y(f(x), f(a))<\varepsilon</math>.
 
Для [[нормированное векторное пространство|линейных нормированных пространств]] (включая, [[гильбертово пространство|гильбертовы]] и конечномерное [[евклидово пространство|евклидовы]] пространства) метрика задаетсязадаётся нормой, поэтому то же определение даетсядаётся в терминах нормы.
 
Пусть, <math>f\colon {N_1}\to {N_2}</math> отображение между [[нормированное векторное пространство|нормированными пространствами]] с нормами <math>\|{*}\|_1</math> и <math>\|{*}\|_2</math> соответственно. Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x \in N_1</math>, таких что <math>\|x-a\|_1< \delta</math> выполнено неравенство <math>\|f(x)-f(a)\|_2 < \varepsilon</math>,
 
Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетностисчётности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.
 
===Непрерывные функции (функционалы)===
{{main|Непрерывная функция}}
 
Пусть, <math>f\colon \mathbb{R}\supset E\to\mathbb{R}</math>. (или <math>\mathbb{C}</math>.). Функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, если для любого числа <math>\varepsilon > 0</math> найдётся такое число <math>\delta > 0</math>, что для всех точек <math>x\in E</math> условие <math>|x-a|< \delta</math> влечетвлечёт <math>|f(x)-f(a)| < \varepsilon</math>.
 
Другими словами, функция <math>f</math> '''непрерывна в точке''' <math>a</math>, '''[[Предельная точка|предельной]] для множества''' <math>E</math>, если она ''имеет [[Предел функции|предел]]'' в данной точке и этот предел ''совпадает со значением функции'' в данной точке: