Кратность критической точки: различия между версиями

 

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{\nabla f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' градиентного отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{\nabla f}</math> называется '''кратностью''' функции <math>f</math> в точке <math>O.</math>

 

В случае, когда функции <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n</math> имеют в точке <math>O</math> линейно независимые [[градиент (математика)|градиенты]] (это условие равносильно тому, что [[гессиан]] функции <math>f</math> отличен от нуля), кратность <math>\mu=1</math>, и критическая точка <math>O</math> называется '''невырожденной'''.

{{рамка}}

:<math>f(x)=x^{\mu+1}.</math>

 

== Функции нескольких переменных ==

{{рамка}}

:<math>\sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i^2, \quad \alpha_i = \pm 1.</math>

 

* Если <math>r=n-1</math>, то в окрестности точки <math>O</math> функция <math>f(x)</math> с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду

{{рамка}}

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i x_i^2 + x_n^{\mu+1}, \quad \alpha_i = \pm 1, \quad 2 \leq \mu < \infty.</math>

 

* Если <math>r=n-2</math>, то в окрестности точки <math>O</math> функция <math>f(x)</math> с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду

{{рамка}}

:::<math>\sum_{i=1}^{n-2} \alpha_i x_i^2 + x_{n-1}x_{n}^2 \pm x_{n}^3, \quad \alpha_i = \pm 1.</math>

::* Если кубическая часть функции <math>g(x_{n-1},x_{n})</math> имеет ''два'' различных корня (один из них — кратный), то, при выполнении дополнительного условия общности положения, функция <math>f(x)</math> приводится к виду

{{рамка}}

:::<math>\sum_{i=1}^{n-2} \alpha_i x_i^2 + x_{n-1}x_{n}^2 \pm x_{n}^{\mu+1}, \quad \alpha_i = \pm 1, \quad 3 \leq \mu < \infty.</math>

 

== Теорема деления ==

где <math>\varphi</math> и <math>a_{i}</math> — гладкие функции своих аргументов, <math>\varphi(x,y_1, \ldots, y_n)</math> не обращается в нуль и <math>a_{i}(0,\ldots,0)=0</math> для всех

<math>i<\mu</math>.

 

Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс]]ом для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref>

 

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение <math>I_{f}</math> в алгебру <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math>. '''Локальной алгеброй''' отображения в точке <math>O</math> называется [[факторалгебра]] <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f},</math> а её размерность <math>\mu = \dim \, \R[[x_1, \ldots, x_n]]/I_{f}</math> называется '''кратностью''' отображения <math>f</math> в точке <math>O.</math>

 

== См. также ==