Естественное преобразование: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 11:
Примером естественного преобразования может служить [[определитель]]. В самом деле пусть ''R'' — коммутативное [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], тогда квадратные [[Матрица (математика)|матрицы]] порядка ''n'' над ''R'' образуют [[моноид]] по умножению, а ''R' '' — мультипликативный моноид самого кольца ''R''. Пусть ''Mat<sub>n</sub>(R)'' будет функтором, переводящим кольцо R в моноид матриц над ним. Так как определитель выражается одной и той же формулой для всех колец ''R'', то отображение ''Mat<sub>n</sub>(R)→det(Mat<sub>n</sub>(R))'' будет естественным преобразованием между функтором ''Mat<sub>n</sub>(R)'' и функтором, сопоставляющим каждому кольцу ''R'' его мультипликативный моноид (оба функтора из категории '''CRing''' коммутативных колец в категорию моноидов '''Mon''').
Приведём примером «неестественного» преобразования . Пусть ''V'' - ''n''-мерное векторное пространство над [[Поле (алгебра)|полем]] ''F. e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub> ...e<sub>n</sub>'' — его базис, ''e<sup>1</sup>, e<sup>2</sup> ...e<sup>n</sup>'' — базис сопряжённого пространства [[функционал]]ов ''D(V)'', такой, что ''e<sup>i</sup>(e<sub>j</sub>)=δ<sup>i</sup><sub>j</sub>'' ([[Дельта Кронекера|символ Кронекера]]). Все ''n''-мерные пространства изоморфны. Положим ''k(e<sub>i</sub>)=e<sup>i</sup>'' и распространим ''k'' линейно на всё пространство ''V k:V→D(V)''; ''k'' отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор ''I'' в контравариантный функтор ''D'', отображающий векторное пространство в сопряженное пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств где морфизмами будут изоморфизмы ''f'' (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор ''D'' ковариантным функтором ''D' '' (где ''D'(V)=D(V), D'(f)=D(f<sup> -1</sup>))''. Преобразование ''k:V→D(V)'' не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть ''V'' одномерно и изоморфизм ''f:V→V'' является умножением на 2 — ''f(e<sub>1</sub>)=2e<sub>1</sub>'', тогда '' D'(f)(k(e<sub>1</sub>)=½e<sup>1</sup>'', в то время как ''k(f(e<sub>1</sub>)=2e<sup>1</sup>'', т.е. диаграмма некоммутативна.
Причина этого совершенно ясна — наше ''k'' определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство ''D(D(V))'' то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм
''h:V→D(D(V))'' (а именно ''h(x)(f)=f(x))'' для любого ''x<span style='font-family:Symbol'>Î</span>V'' и функционала ''f<span style='font-family:Symbol'>Î</span>D(V)'' ). В данном случае изоморфизм ''h'' определяет естественное преобразование тождественного функтора ''I'' в функтор ''D<sup>2</sup>''.
| |||