|
'''Теорема Римана об''' [[Условная сходимость|'''условно сходящихся рядах''']] — теорема в [[Математический анализ|математическом анализе]].
{{Теорема|Пусть ряд <math>\mathbf{A}</math> сходится условно, тогда для любого числа <math>\mathbf{S}\in\mathbb{R} \cup \{ \infty \}</math> можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна <math>\mathbf{S}</math>.}}
== Доказательство ==
Составим ряд из положительных элементов ряда <math>\mathbf{A}</math> и обозначим его <math>\mathbf{P}</math>, а элементы ряда <math>\mathbf{P}</math> обозначим <math>\mathbf{P_i} (i=1,...,\infty)</math>. Соответственно, ряд из модулей отрицательных элементов <math>\mathbf{A}</math> обозначим <math>\mathbf{Q}</math>. Следовательно, ряд <math>\mathbf{A}</math> можно представить как
<math>\mathbf{A}=\mathbf{P}-\mathbf{Q}</math>.
Исходя из [[Условная сходимость|свойств условно сходящихся рядов]], <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> — расходятся, а исходя из [[Остаток ряда|свойств остатка ряда]], все остатки <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> — расходятся <math>\Rightarrow</math> в каждом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим, произведём перестановку членов ряда <math>\mathbf{A}</math>.
Сначала возьмём столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла <math>\mathbf{S}</math>:
<math>\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}>\mathbf{S}</math>.
За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше <math>\mathbf{S}</math>:
<math>\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}-\mathbf{q_1}-\mathbf{q_2}-...-\mathbf{q_m}<\mathbf{S}</math>.
Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда <math>\mathbf{A}</math> встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены <math>\mathbf{p}</math> и <math>\mathbf{q}</math>, набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и <math>\mathbf{S}</math> по модулю не превзойдет последнего написанного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов
<math>\lim_{k\to\infty} \mathbf{p_k}=0</math> и <math>\lim_{m\to\infty} \mathbf{q_m}=0</math>, то новый ряд сходится к <math>\mathbf{S}</math>. {{QED}}
== См. также ==
| 