Предел последовательности: различия между версиями

Свойство последовательности иметь предел называют '''''сходимостью''''': если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность ''сходится''; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность ''расходится''. В [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовом пространстве]] и, в частности, [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]]<ref>Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.</ref>, каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовохаусдорфова пространства]] не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством [[Компактное пространство|секвенциальной компактности]] (или, просто, компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).