Гомотопические группы: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Луговкин (обсуждение | вклад) |
Луговкин (обсуждение | вклад) |
||
Строка 29:
Относительные гомотопические группы определяются для пространства <math>X</math>, его подпространства <math>A\sub X</math> и выделенной точки <math>x_0\in X</math>. Пусть <math>I^n\sub\R^n</math> — единичный куб (<math>I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_i\leqslant 1\}</math>), <math>\partial I^n</math> — граница этого куба, a <math>I^{n-1}\sub\partial I^n</math> — грань куба, определяемая уравнением <math>t_n=0</math>. Множество [[Гомотопия|гомотопических]] классов <math>[f]</math> непрерывных отображений <math>f\colon I^n\to X</math>, для которых <math>f\colon I^{n-1}\to A</math> и на остальных гранях <math>f\colon\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})\to x_0</math> обозначается <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> (причём <math>I^{n-1}</math> переходит в <math>A</math>, а <math>\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})</math> в точку <math>x_0</math> при всех отображениях и гомотопиях).
Точно так же, как и раньше, можно доказать, что при <math>n\geqslant 2</math> это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка <math>n</math>. Если <math>n\geqslant 3</math>, то предыдущий рисунок доказывает, что <math>\pi_n(X,A,x_0)</math> — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки <math>I^1=\{x:x_2=0\}</math> могут переходить в точки <math>A</math>, отличные от <math>x_0</math>).
Вложение <math>i\colon(A,x_0)\to(X,x_0)</math> индуцирует [[гомоморфизм]] <math>i_*\colon\pi_n(A,x_0)\to\pi_n(X,x_0)</math>, а вложение <math>j\colon(X,x_0)\to(X,A,x_0)</math> (здесь <math>(X,x_0)</math> следует понимать как <math>(X,x_0,x_0)</math>), индуцирует гомоморфизм <math>j_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)</math>. Любой элемент <math>[f]\in\pi_n(X,A,x_0)</math> определяется отображением <math>f</math>, которое, в частности, переводит <math>I^{n-1}</math> в <math>A</math>, причём на <math>\partial I^{n-1}</math> f тождественно равно <math>x_0</math>, определяя элемент из <math>\pi_{n-1}(A,x_0)</math>. Таким образом мы получаем отображение <math>\partial \pi_n(X,A,x_0)\to\pi_{n-1}(A,x_0)</math>, которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:
| |||