Группа Ли: различия между версиями

1 байт убрано ,  4 года назад
== Гомоморфизмы и изоморфизмы ==
 
Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — группы Ли над одним и тем же полем. ''Гомоморфизмом'' групп Ли называется отображение <math>f\colon G\to H</math>, являющееся [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом групп]] и одновременно аналитическим отображением многообразий. (Можноможно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности <math>f</math>.). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют [[теория категорий|категории]] <math>\operatorname{Lie}_\R</math> и <math>\operatorname{Lie}_\C</math>. Гомоморфизм групп Ли называется ''изоморфизмом'', если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли <math>SO(2)</math> поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли <math>U(1)</math> комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.
 
Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.
: ''g'' (''hN'') = (''gh'')''N'',
 
[[Действие группы|Действие]] группы Ли ''G'' на дифференцируемом многообразии ''M'' называется ''транзитивным'', если любую точку ''M'' можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента ''G''. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли., называется [[Однородное пространство|''однородным пространством'']] этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы ''G'' диффеоморфно ''G'' / st ''x'', где st ''x'' — [[Действие группы|стабилизатор]] произвольной точки.
 
== Алгебра Ли группы Ли ==
Анонимный участник