Решётка E8: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Twilight0 (обсуждение | вклад) оформление html |
→История: Грамматика, пунктуация. |
||
Строка 7:
== История ==
Существование этой решётки было доказано {{не переведено|:en:Henry John Stephen Smith|Смит, Генри (математик)|Смитом}} в 1867 году<ref name="Smith">{{Cite journal|last=Smith|first=H. J. S.|title=On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates|journal=Proceedings of the Royal Society|doi=10.1098/rspl.1867.0036|year=1867|volume=16|pages=197–208}}</ref>.
Первое явное построение было дано [[Коркин, Александр Николаевич|Коркиным]] и [[Золотарёв, Егор Иванович|Золотарёвым]] в 1873 году
== Описание ==
Строка 19:
Решетку Е<sub>8</sub> можно также реализовать как множество всех точек в E'<sub>8</sub> в <math>\mathbb{R}^8</math> таких, что
* все координаты — целые числа с чётной суммой, или
* все координаты — полуцелые с нечётной суммой.
Иначе говоря
: <math>E_8' = \left\{(x_i) \in \mathbb Z^8 \cup (\mathbb Z + \tfrac{1}{2})^8 : {{\textstyle\sum_i} x_i} \equiv 2x_1 \equiv 2x_2 \equiv 2x_3 \equiv 2x_4 \equiv 2x_5 \equiv 2x_6 \equiv 2x_7 \equiv 2x_8\;(\mbox{mod }2)\right\}.</math>
Строка 39:
** Эквивалентно, E<sub>8</sub> является ''самодвойственной'', то есть она совпадает со своей [[Обратная решётка|обратной решёткой]].
* Эта решётка чётная, то есть норма любого её вектора — чётное целое число.
Чётные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8. В размерности 16 таких решёток две: E<sub>8</sub> ⊕ E<sub>8</sub> и D<sub>16</sub><sup>+</sup> (последняя строится аналогично E<sub>8</sub> в размерности 16). В размерности 24 существует 24 таких
=== Базис ===
Строка 71:
[[Группы симметрии|Группы симметрий]] решетки в '''R'''<sup>''n''</sup> определяется как подгруппа [[Ортогональная группа|ортогональной группы]] O(''n''), которая сохраняет решётку. Группа симметрий решётки Е<sub>8</sub> порожденная [[Отражение (геометрия)|отражениями]] в гиперплоскостях, ортогональных 240 корням решётки. Ее [[Порядок элемента|порядок]] равен
: <math>|W(\mathrm{E}_8)| = 696729600 = 4!\cdot 6!\cdot 8!.</math>
Эта группа содержит подгруппу порядка 128·8!, состоящую из всех [[Перестановка|перестановок]] координат и чётного числа смен знаков. Полная группа симметрий порождается этой подгруппой и [[Блочная матрица|блок-диагональной матрицей]] ''H''<sub>4</sub>⊕''H''<sub>4</sub> где ''H''<sub>4</sub> — [[Матрица Адамара|матрица Адамара<br>
]]
: <math>H_4 = \tfrac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix}
Строка 83:
В [[Упаковка шаров|задача упаковки шаров]] спрашивает, как наиболее плотным способом упаковать шары фиксированного радиуса в пространство без наложений.
В '''R'''<sup>8</sup>
: <math>\frac{\pi^4}{2^4 4!} \cong 0.25367.</math>
То, что эта плотность максимальна для решётчатых упаковок, было известно давно
Решение задачи упаковки шаров известно только в размерностях 1, 2, 3, 8, и 24.
Строка 92:
=== Контактное число ===
[[Контактное число|Задача о контактном числе]] спрашивает, какое максимальное число шаров фиксированного радиуса может коснуться в центрального шара того же радиуса. В рамерности 8 ответ 240, такую конфигурацию можно получить, если разместить шары в точках решётки Е<sub>8</sub> с минимальной нормой. Это было доказано в 1979 году
Решение задачи о контактном числе известно только в размерностях 1, 2, 3, 4, 8, и 24.
Строка 101:
[[Тэта-функция]] решетки Λ определяется как сумма
:<math>\Theta_\Lambda(\tau) = \sum_{x\in\Lambda}e^{i\pi\tau\|x\|^2}\qquad\mathrm{Im}\,\tau > 0.</math>
Она является [[Голоморфная функция|голоморфной
Кроме того, тэта-
С точностью до нормализации, есть единственная модульная форма веса 4
То есть тэта-функция решётки E<sub>8</sub> должна быть пропорциональна ''G''<sub>4</sub>(τ).
Это
: <math>\Theta_{E_8}(\tau) = 1 + 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{2n}</math>
где σ<sub>3</sub>(''n'') является [[Функция делителей|функцией делителей]] и <math>q = e^{i\pi\tau}</math>.
Отсюда следует, что число векторов нормы 2''n'' в решётке Е<sub>8</sub> равно <math>240\cdot</math>(сумма кубов делителей ''n'').
Первые несколько членов этой последовательности даны в {{OEIS|id=A004009|окончание=и}}:
: <math>\Theta_{E_8}(\tau) = 1 + 240\,q^2 + 2160\,q^4 + 6720\,q^6 + 17520\,q^8 + 30240\, q^{10} + 60480\,q^{12} + O(q^{14}).</math>
Тета-функция решётки Е<sub>8</sub> может быть записана в терминах тета-функций Якоби следующим образом:
Строка 140:
Решётка Е<sub>8</sub> используется при определении [[Алгебра Кэли|целых октонионов]] аналогично [[Кватернион Гурвица|целым кватернионам]].
Целые октонионы, естественно, образуют решетку
Эта решетка подобна решетке Е<sub>8</sub> с коэффициентом <math>1/\sqrt{2}</math>.
(Минимальная норма в целых октонионах равна 1, а не 2).
| |||